1、第16讲导数在函数中的应用考纲要求考点分布考情风向标1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2013 年新课标卷第 20 题考查导数的几何意义、单调性、极大值等；2014 年新课标卷第 3 题考查函数极值的充要条件；2014 年大纲卷第 21 题考查函数的单调性及分类讨论；2014 年新课标卷第 21 题利用单调性讨论参数的取值范围；2014 年新课标卷
2、第 12 题以函数零点为背景，考查导数的应用；2015 年新课标卷第 21 题构造函数利用其单调性解不等式；2016 年新课标卷第 12 题考查函数单调性本节复习时，应理顺导数与函数的关系，体会导数在解决函数有关问题时的工具性作用.本节知识往往与其他知识结合命题，如不等式知识等，还应注意分类讨论思想的应用1函数的单调性函数 yf(x)在(a，b)内可导，则：单调递减(1)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内_.2函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法：一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)
3、0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；f(x)0f(x)0如果在 x0 附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根的左、右值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.极小值3函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函
4、数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；极值将函数 yf(x)的各_与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1(2016 年安徽合肥模拟)设 f(x)是函数 f(x)的导函数，y)f(x)的图象如图 2-16-1，则 yf(x)的图象最有可能是(图 2-16-1ABCD解析：由 yf(x)的图象易知当 x0 或 x2 时，f(x)0，故函数 yf(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增；当 0 x2 时
5、，f(x)0，故函数 yf(x)在区间(0,2)上单调递减.答案：C)D2函数 f(x)(4x)ex 的单调递减区间是(A(，4)B(，3)C(4，)D(3，)解析：f(x)ex(4x)exex(3x)，令 f(x)0，3x33已知 e 为自然对数的底数，则函数 yxex 的单调递增区间是()AA1，)C1，)B(，1D(，1解析：f(x)2x)A4函数 f(x)x22ln x 的单调递减区间是(A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,1)2x2(x1)(x1)x(x0).当 x(0,1)时 f(x)0，f(x)为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)为增函数.考点1利用导数研究函数的
6、单调性例1：设 f(x)a(x5)2 6ln x，其中 aR，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与 y 轴相交于点(0,6).(1)确定 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间.故f(x)2a(x5).解得a.解：(1)因为 f(x)a(x5)26ln x，6x令 x1，得 f(1)16a，f(1)68a所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1).由点(0,6)在切线上，可得 616a8a612f(x)x5 126x(x2)(x3).x令 f(x)0，解得 x2，或 x3当 0 x3 时，f(x)0.故 f(x)的递增区间是(0,2)，(3，)；
7、当 2x3 时，f(x)0，故 f(x)的递减区间是(2,3).(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，【规律方法】求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.【互动探究】1(2016 年江西九江模拟)函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是()DA(，2)C(1,4)B(0,3)D(2，)解析：函数 f(x)(x3)ex 的导数为 f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(
8、x)0 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f(x)(x2)ex0，解得 x2x2若f(x)ln xx，0abe，则 f(a)与 f(b)的大小关系为_.f(a)f(b)解析：f(x)1ln x2，当0 xe时，1ln x0，即f(x)0.f(x)在(0，e)上单调递增.f(a)f(b).考点2含参数函数的单调性例2：已知函数 f(x)x3ax1(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在区间(1，)上为增函数，求 a 的取值范围；(4)若 f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求 a 的取值范围；(5)若 f(x)的单
9、调递减区间为(1,1)，求 a 的值.解：(1)f(x)3x2A当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在 R 上为增函数.(3)因为 f(x)3x3a，且 f(x)在区间(1，)上为增函数，所以 f(x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立.所以 a3x2 在(1，)上恒成立，所以 a3，即 a 的取值范围为(，3.(4)由 f(x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得 a3x2 在(1,1)上恒成立.因为1x1，所以 3x23所以 a3即当 a 的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.【规律方法】若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减)，求
10、参数取值范围问题，一是可转化为f(x)0或f(x)0恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到，二是利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.【互动探究】答案：C答案：C思想与方法运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：(2016年新课标)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2(导学号 58940038)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1
11、，)上单调递增.若a，则f(x)(x1)(exe)，若0a，则ln(2a)1()设 a0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.若a1e2故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0，当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.故 f(x)在(1，)上至多有一个零点，在(，1)上至多有一个零点.由于 f(2)a0，f(1)e0，则 f(2)f(1)0.根据零点存在性定理，f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.而当 x1 时，exe，x21
12、e(x2)a(x1)2a(x1)2e(x1)e，()设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(，ln(2a)，因此，当 x1 且 x0.又 f(1)e0，根据零点存在性定理，f(x)在(，1)上有且只有一个零点.所以 f(x)有两个零点.()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)有一个零点.e2(1，)上单调递增.又当 x1 时，f(x)fln(2a)aln(2a)2210，故 f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在e2(，1)，(ln(2a)，)上单调递增.又当 x1 时，f(x)f(1)e0，故 f(x)不存在两个零点.综上所述，a
13、 的取值范围为(0，).【规律方法】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.1利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)由 f(x)0(或0)解出相应的 x 的取值范围.当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递减函
14、数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.2已知单调性求解参数取值范围的步骤为：(1)对含参数的函数 f(x)求导，得到 f(x)；(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(x)0 恒成立；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(x)0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数取值范围；(3)验证参数取值范围中取等号时，是否恒有 f(x)0.若f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.3求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开.