1、 线 运 动【题型概述】线动实质就是点动,即点动带动线 动,进 而 还 会 产 生 面动,因而线动 型 几 何 问 题 可 以 通 过 转 化 成 点 动 型 问 题 来 求解解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全 过 程,抓住其中的等量关系和变量关系从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启 示,这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去 观 察 和 研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系【典题演示】【例】(福 建 泉 州)已 知:A、B、C
2、 三 点 不 在 同 一 直线上()若点 A、B、C 均在半径为R 的O 上(i)如图(),当 A,R 时,求 BOC 的 度 数 和BC 的长;(ii)如图(),当A 为锐角时,求证:sinABCR;()()()()若 定 长 线 段 BC 的两个端点分别在MAN 的两 边AM、AN(B、C 均与点 A 不重合)滑 动,如 图(),当 MAN,BC时,分别 作 BPAM,CPAN,交 点 为 P,试 探索在整个滑动过程中,P、A 两点间的距离是否保持不变?请说明理由【思路点拨】()(i)根据圆周角定理得出BOCA,再利用勾股定理得出BC 的长;(ii)作直 径 CE,连 接 BE,则 E A
3、,CER,利 用sinAsinEBCR,得出即可;()首先证明点 A、B、P、C 都在K 上,再利用sinBCAP,得出 APsin (定值)【完全解答】()(i)A、B、C 均在O 上,BOCA OBOC,BC 注:也可延长 BO 或过O 点作BC 的垂线构造直角三角形求得BC(ii)证 法 一:如 图(),作 直 径 CE,连 接 BE,则 EA,CER,EBC sinAsinEBCR()()证法二:如图()连接OB、OC,作OHBC 于点 H,则A BOCBOH,BH BC,sinAsinBOHBHOB BCRBCR()()保持不变如图(),连接 AP,取 AP 的中点K,连接BK、CK
4、,在 RtAPC 中,CK APAKPK,同理得:BKAKPK,CKBKAKPK 点 A、B、P、C 都在K 上 由()(ii)可知sinBCAP APsin (定值)故在整个滑动过程中,P、A 两点间的距离不变【归纳交流】这是一道典型的“线段运动型”的动态几 何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最 值,或 者 探究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般 情 况 下选择割补法,通过“割 补”将 不 规 则 图 形 转 化 为 规
5、 则 图 形 解决二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形 的 运 动变化规律有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判 断 随 之而动的其他图形的一般位置和特殊位置【名题选练】一、选择题(山东济南)如图,MON,矩形 ABCD 的顶点A、B 分别在边OM、ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上 运 动,矩 形 ABCD 的 形 状 保 持 不 变,其 中AB,BC,运动 过 程 中,点 D 到 点O 的 最 大 距 离 为()第五章 动 态 问 题(第题)A B C D二、填空题(湖北咸宁)如图,量角器的直径与直角三角板 AB
6、C的斜边AB 重合,其中量角器刻度线 的 端 点 N 与 点A重合,射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转,CP 与量角器的半圆弧交于点E,第秒时,点E 在量角器上对应的读数是 度(第题)三、解答题(辽宁本溪)已知,在ABC 中,ABAC过点 A 的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角,直 线 a 交 边 BC 于 点 P(点 P 不 与 点 B、C 重合),BMN 的边 MN 始终在直线a 上(点 M 在点 N 的上方),且BMBN,连接CN()当BACMBN时,如图(),当时,ANC 的度数为 ;如图(),当时,中 的 结 论 是 否 发 生 变 化
7、?说明理由;()如 图(),当 BAC MBN 时,请 直 接 写 出ANC 与BAC 之间的数量关系,不必证明()()()(第题)(四 川 自 贡)如 图 所 示,在 菱 形 ABCD 中,AB,BAD,AEF 为 正 三 角 形,点 E、F 分 别 在 菱 形的边BC、CD 上滑动,且点E、F 不与B、C、D 重合()证明:不论点E、F 在BC、CD 上如何滑动,总有 BECF;()当 点 E、F 在 BC、CD 上 滑 动 时,分 别 探 讨 四 边 形AECF 和CEF 的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值(第题)(湖北潜江)ABC 中,ABAC,
8、D 为BC 的中点,以D 为顶点作MDNB()()(备用图)(第题)()如图()当射线 DN 经过点A 时,DM 交边AC 于点E,不添加辅助 线,写 出 图 中 所 有 与 ADE 相 似 的 三角形;()如图(),将MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转,DM、DN 分别交线段AC、AB 于点E、F(点 E 与点A 不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论;()在图()中,若 ABAC,BC,当DEF 的面积等于ABC 的面积的 时,求线段EF 的长 线 运 动A()BAC,APBC,BPCP APBP又 MBN,BMBN,APPN APPNBPPC,且 ANBC 四边形
9、 ABNC 是正方形 ANC故答案为当时,中的结论不发生变化理由:BACMBN,ABAC,BMBN,ABCACBBNP又 BPNAPC,BNPACP BPAPPNPC 又 APBCPN,ABPCNP ANCABC(第题)()ANC BAC()连接 AC,四边形 ABCD 为菱形,BAD,EAC,EAC,BAD,ABC ABC 和ACD 为等边三角形,ACAB 在ABE 和ACF 中,ABAC,ABC,ABEACF(ASA)BECF()四边形 AECF 的面积不变,CEF 的面积发生变化理由:由()得ABEACF,则SABE SACF,故S四边形AECF SAECSACF SAEC SABE S
10、ABC,是定值,作 AHBC 于点 H,则BH,S四边形AECF SABC BCAH BCABBH,由“垂线段最短”可知:当正三角形 AEF 的边AE 与BC 垂直时,边 AE 最短故AEF 的面积会随着AE 的变化而变化,且当 AE 最短时,正三角形 AEF 的面积会最小,又SCEF S四边形AECF SAEF,则此时CEF 的面积就会最大 SCEF S四边形AECF SAEF ()()()图()中与ADE 相似的有ABD,ACD,DCE ABAC,D 为BC 的中点,ADBC,BC,BADCAD又 MDNB,ADEABD同理可得:ADEACD MDN C B,B BAD,ADEEDC,BM
11、DN,BADEDC BC,ABDDCE ADEDCE()BDFCEDDEF B BDF BFD,EDF BDFCDE,EDFB,BFDCDE由 ABAC,得BC,BDFCED BDDFECDE BDCD,CDDFECDE又 CEDF,BDFCEDDEF(第题)()连 接 AD,过 点 D 作 DG EF,DHBF,垂足分别为点 G,点 H ABAC,D 是BC 的中点,ADBC,BD BC在 RtABD 中,ADABBD,AD SABC BCAD ,SDEF SABC 又 ADBD ABDH,DHADBDAB BDFDEF,DFBEFD DGEF,DHBF,DHDG SDEF EFDG,EF DG