1、第2课时等差数列的性质1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.(重点、易错点)2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.(难点)基础初探教材整理等差数列的性质阅读教材P37第二自然段P37例3及P38练习B第1,2题，完成下列问题.1.等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.2.等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两
2、项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN)是公差为2d的等差数列.(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列.(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列.1.下列说法中正确的有_.(填序号)若an是等差数列，则|an|也是等差数列.若
3、|an|是等差数列，则an也是等差数列.若an是等差数列，则对任意nN都有2an1anan2.数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等.【解析】错误.如2，1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.错误.如数列1,2，3,4，5，其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.正确.根据等差数列的通项可判定对任意nN都有2an1anan2成立.正确.因为an3n5的公差d3，而直线y3x5的斜率也是3.【答案】2.在等差数列an中，若a56，a815，则a14_.【解析】数列an是等差数列，a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，a14693
4、33.【答案】333.在等差数列 an中，已知a3a4a5a6a7450，则a2a8_.【解析】因为a3a4a5a6a75a5450.所以a590，a2a82a5290180.【答案】1804.已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12_.【解析】在等差数列an中，由于a7a9a4a12，所以a12(a7a9)a416115.【答案】15小组合作型灵活设元解等差数列已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.【精彩点拨】(1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？【自主解答】法一：设这四个数
5、分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列.2.当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.3.当已知数列有2n1项时，可设为
6、and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.再练一题1.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【导学号：18082023】【解】(1)设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.等差数列的实际应用甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.甲乙图221请你根据提供的信息回答问题.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养
7、鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.【精彩点拨】解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列.【自主解答】由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得得a21.2；由b130，b610，得得b226.c2a2b21.22631.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只.(2)c6a6
8、b621020c1a1b130，到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.1.在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量.再练一题2.某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 【导学号：18082024】【解】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，n
9、N)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n22011，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.探究共研型等差数列的性质探究1数列1,2,3,4,5,6,7,8，是等差数列吗？1,3,5,7，是等差数列吗？2,4,6,8，是等差数列吗，它们有什么关系？这说明了什么？【提示】这三个数列均是等差数列，后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项，按原来顺序组成的新数列，这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项，按原来的顺序排列，还是一个等差数列.探究2在等差数列an
10、中，若an3n1.那么a1a5a2a4吗？a2a5a3a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？【提示】由an3n1可知a1a5a2a4与a2a5a3a4均成立，由此有若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq.对于任意等差数列an，设其公差为d.则amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因mnpq，故amanapaq对任意等差数列都适用.探究3在等差数列an中，2anan1an1(n1)成立吗？2anankank(nk0)是否成立？【提示】在探究2的结论中令mn，pn1，qn1，可知2
11、anan1an1成立；令性质(2)中的mn，pnk，qnk，可知2anankank也成立.在公差为d的等差数列an中，(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d.【精彩点拨】解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决.【自主解答】法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程如下：解得或d3或3.法二：(1)根据已知条件a2a3a23a2448，及a2a24a3a232
12、a13.得4a1348，a1312.(2)由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2(a2a5)34，即a2a517.解得或d3或d3.1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法.2.巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程.3.通项公式的变形形式anam(nm)d，(m，nN)，它又可变形为d，应注意把握，并学会应用.再练一题3.设数列an，bn都是等差数列.若a1b17，a3b321，则a5b5_.【解析】法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)
13、72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.【答案】351.已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()A.bnanB.bnaC.bnD.bn【解析】数列an是等差数列，an1and(常数).对于A：bn1bnanan1d，正确；对于B不一定正确，如数列ann，则bnan2，显然不是等差数列；对于C，D：及不一定有意义，故选A.【答案】A2.在等差数列an中，已知a12，a2a313，则a4a5a6等于()A
14、.40 B.42 C.43 D.45【解析】由即得d3.所以a524314.所以a4a5a63a542，故选B.【答案】B3.在等差数列an中，a2a59，a86，则a2_. 【导学号：18082025】【解析】法一：由a2a5a83a515，a55，a24.法二：由得解之得a24.【答案】44.若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.【解析】由题意得该等差数列的公差d，所以ca2d.【答案】5.在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求该数列的通项公式.【解】因为a2a5a89，a3a5a721，a2a8a3a72a5，所以a53法一：a3a72a56.所以a3a77.由解得a31，a77或a37，a71.当a31时，d2；当a37时，d2.由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.法二：a3a77(a52d)(a52d)7(32d)(32d)7解得d2.若d2，ana5(n5)d32(n5)2n7若d2，ana5(n5)d32(n5)132nan2n7或an2n13.