1、第三章 导数及其应用3.3 定积分与微积分基本定理内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1.定积分的概念 在f(x)dx中，分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，叫做被积式.ba2.定积分的性质(1)bakf(x)dxkbaf(x)dx(k 为常数)；(2)baf1(x)f2(x)dx ；(2)baf(x)dxcaf(x)dx (其中 ac0.()(3)若baf(x)dx0)所围成的曲线边图形的面积为43，则 k_.解析由yx2，ykx，得x0，y0或xk，yk2，则曲线
2、 yx2 与直线 ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为k0(kxx2)dx(k2x213x3)|k0k32k3343，即k38，解得k2.2 解析答案 思维升华(1)定积分309x2dx 的值为()A.9B.3C.94D.92解析 由定积分的几何意义知309x2dx 是由曲线 y 9x2，直线x0，x3，y0围成的封闭图形的面积，故30 9x2dx324 94，故选 C.C跟踪训练2 解析答案(2)由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_.解析 由y2x2，y4x2，解得 x1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为11(2x24x2)dx(23x32x22x)|(2313
3、21221)23(1)32(1)22(1)163.16311解析答案 例 4一物体作变速直线运动，其 vt 曲线如图所示，则该物体在12 s6 s 间的运动路程为_ m.题型三 定积分在物理中的应用 解析答案 思维升华 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_.解析 变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为 W101 F(x)dx101(x21)dx(13x3x)|101 342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.342 跟踪训练2 解析答案 返回 易错警示系列 易错分析
4、 本题在根据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错.典例 已知函数 yF(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B(12，5)，C(1,0)，则函数 yxF(x)(0 x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_.易错警示系列5.利用定积分求面积时易错点解析答案 易错分析 温馨提醒 返回 思想方法 感悟提高 1.求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a).(2)利用定积分的几何意义求定积分.2.对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择
5、相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.方法与技巧 1.若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和.2.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.失误与防范 返回 练出高分 1234567891011121314C15A.e2B.e1C.eD.e1 解析 10(2xex)dx(x2ex)|10e.故选 C.1.定积分10(2xex)dx 的值为()解析答案 2.由曲线 ysin x，ycos x 与直线 x0，x2所围成的平面图形的面积是()A.1B.4C.2 23D.2 22解析答案 1234567
6、891011121314153.一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为()A.3 JB.2 33JC.4 33JD.2 3 J解析 21F(x)cos 30dx2132(5x2)dx5x13x3 3243 3，21F(x)做的功为43 3 J.C 解析答案 1234567891011121314154.已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为()A.25B.43C.32D.2解析答案 123456789101112131415A.1B.0C.1D.2 5.若定积分m2x22xd
7、x4，则 m 等于()解析 根据定积分的几何意义知，定积分m2x22xdx 的值就是函数 y x22x的图象与 x 轴及直线x2，xm 所围成图形的面积，y x22x是一个圆心为(1,0)，半径为 1 的半圆，其面积等于2，而m2x22xdx4，即在区间2，m上该函数图象应为14个圆，于是得m1，故选A.A 解析答案 1234567891011121314156.10(exx)dx_.解析 10(exx)dx(ex12x2)|10e121e12.e12解析答案 123456789101112131415解析 所求面积 7.由直线 x3，x3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为
8、_.3333cos dsin|x xxsin3(sin3)3.3解析答案 1234567891011121314158.一物体在力 F(x)5，0 x2，3x4，x2(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_焦.解析 由题意知，力F(x)所做的功为 W40F(x)dx205dx42(3x4)dx52(32x24x)|4210324244(322242)36(焦).36 解析答案 1234567891011121314159.求曲线 y x，y2x，y13x 所围成图形的面积.解析答案 1234567891011121314151
9、0.在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程s4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v10 m/s时，F5 N，求物体在位移区间1,4内克服介质阻力所做的功.解析答案 12345678910111213141511.若 f(x)x2210f(x)dx，则10f(x)dx 等于()A.1B.13C.13D.1解析 f(x)x2210f(x)dx，10f(x)dx(13x32x10f(x)dx)|1013210f(x)dx，B10f(x)dx13.故选 B.解析答案 123456789101112131415A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S
10、2S3S1D.S3S2S1 12.若 S121x2dx，S2211xdx，S321exdx，则 S1，S2，S3 的大小关系为()解析 方法一 S113x3|21831373，S2ln x|21ln 2ln e1，S3ex|21e2e2.722.74.59，所以 S2S1S3.方法二 S1，S2，S3分别表示曲线yx2，与直线 x1，x2 及 x 轴围成的图形的面积，通过作图易知 S2S10)围成的图形的面积为83，则 m的值为()A.2B.3C.1D.8 解析 S (m x)dx(mx23)m323m383，解得 m2.20|m32x20m A 解析答案 12345678910111213141514.汽车以v3t2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_ m.解析 S21(3t2)dt(32t22t)|213244(322)1072132(m).6.5 解析答案 12345678910111213141515.已知 f(a)10(2ax2a2x)dx，则函数 f(a)的最大值为_.解析 f(a)10(2ax2a2x)dx(23ax312a2x2)|1012a223a，由二次函数的性质可得 f(a)max23241229.29解析答案 返回 123456789101112131415