1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点)基础初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132P133例5以上内容,完成下列问题.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的变形3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2,cos .(2)1sin 2(sin cos )2.1.判断(正确的打
2、“”,错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.()(2)存在角,使得sin 22sin 成立.()(3)对于任意的角,cos 22cos 都不成立.()【解析】(1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式,要求k(kZ)且k(kZ),故此说法错误.(2).当k(kZ)时,sin 22sin .(3).当cos 时,cos 22cos .【答案】(1)(2)(3)2.已知cos ,则cos 2等于_.【解析】由cos ,得cos 22cos21221.【答案】小组合作型利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos4 sin4 ;(2)si
3、n cos cos ;(3)12sin2 750;(4)tan 150.【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得.【自主解答】(1)cos4 sin4 cos .(2)原式cossin cos sin .原式.(3)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.原式.(4)原式.原式.二倍角公式的灵活运用:(1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有:2sin cos sin 2,sin cos sin 2,cos ,cos2 sin2 cos 2,tan 2.(2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求
4、思考时要融会贯通,有目的地活用公式.主要形式有:1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2,1cos 22cos2 ,cos2 ,sin2 .再练一题1.求下列各式的值:(1)sin cos ;(2);(3);(4)cos 20cos 40cos 80.【解】(1)原式.(2)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(3)原式4.(4)原式.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin 3cos ,那么tan 2的值为()A.2B.2C. D.(2)已知sin,则cos的值等于()A. B.C. D.(3)已知cos ,sin ,是第三
5、象限角,.求sin 2的值;求cos(2)的值.【精彩点拨】(1)可先求tan ,再求tan 2;(2)可利用22及求值;(3)可先求sin 2,cos 2,cos ,再利用两角和的余弦公式求cos(2).【自主解答】(1)因为sin 3cos ,所以tan 3,所以tan 2.(2)因为cossinsin,所以cos2cos21221.【答案】(1)D(2)C(3)因为是第三象限角,cos ,所以sin ,所以sin 22sin cos 2.因为,sin ,所以cos ,cos 22cos2 121,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin .直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)
6、sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2).(2)sin (或cos )cos 212sin2 (或2cos2 1).(3)sin (或cos )再练一题2.(1)已知,sin ,则sin 2_,cos 2_,tan 2_.(2)已知sinsin,且,求tan 4的值. 【导学号:70512043】【解析】(1)因为,sin ,所以cos ,所以sin 22sin cos 2,cos 212sin2 122,tan 2.【答案】(2)因为sinsincos,则已知条件可化为sincos,即sin,所以sin,所以cos 2.因为,所以2(,2),从而sin 2,所以
7、tan 22,故tan 4.利用二倍角公式证明求证:(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B;(2)cos2(1tan2)cos 2.【精彩点拨】(1)可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一:从左向右:切化弦降幂扩角化为右边形式;证法二:从右向左:利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化.【自主解答】(1)左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边,等式成立.(2)法一:左边cos2cos2sin2cos 2右边.法二:右边cos
8、2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左边.证明问题的原则及一般步骤:(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.再练一题3.证明:tan . 【导学号:00680072】【证明】左边tan 右边.所以tan 成立.探究共研型倍角公式的灵活运用探究1请利用倍角公式化简:(23).【提示】23,2sin .探究2如何求函数f(x)2cos2x12sin xcos
9、 x(xR)的最小正周期?【提示】求函数f(x)的最小正周期,可由f(x)(2cos2x1)(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin,知其最小正周期为.求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x,x的最小值,并求其单调减区间.【精彩点拨】【自主解答】f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin.x,2x,sin,当2x,即x时,f(x)取最小值为32.ysin在上单调递增,f(x)在上单调递减.本题考查二倍角公式,辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如yAsin(x)的形式,再利用函数
10、图象解决问题.再练一题4.求函数ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值,并写出该函数在0,上的单调递减区间.【解】ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin,所以T,ymin2.由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,又x0,所以令k0,得函数的单调递减区间为.1.sin 2230cos 2230的值为()A. B. C. D.【解析】原式sin 45.【答案】B2.已知sin x,则cos 2x的值为()A. B. C. D.【解析】因为sin x,所以cos 2x12sin2 x122.【答案】A3.的值为() 【导学号:00680073】A. B. C. D.【解析】原式cos2sin2cos .【答案】D4.已知tan ,则_.【解析】tan .【答案】5.求下列各式的值:(1)cos cos ;(2)cos2.【解】(1)原式.(2)原式cos .