1、第八节解三角形的应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识梳理一、实际问题中的相关术语、名称1方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角.2方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏北60等3仰角与俯角：指视线与水平线的夹角，视线在水平线上方的角叫做仰角视线在水平线下方的角叫做俯角.(3)4坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比如图(3)，i为坡比二、正、余弦定理可以解决的实际问题距离或宽度(有障碍物)、高度(底部或顶部不能到达)、角度(航海或航空定位)、面积等基础自测1已知A，B两地的距离为a
2、，B，C两地的距离为3a，现测得ABC为锐角，且sinABC，则A，C两地的距离是()A.a B.a C2a D2a解析：由ABC为锐角，sinABC得cosABC.余弦定理知AC2a29a22a3acosABC10a26a28a2，所以AC2a.答案：C2如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度h为 ()A(153)m B(3015)mC(3030)m D(1530)m解析：由正弦定理可得，即PB，hPBsin 45(3030) m故选C.答案：C3在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔
3、底方向前进100 m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_解析：如图，D45，ACB60，DC100 m，DAC15，因为AC，所以ABACsin 60，50(3) m.答案：50(3) m4如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_解析：易知ACB120，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 1202a22a23a2，ABa(km)答案：a km1在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米答案:2.(20
4、13江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(法一)(1)cos A，co
5、s C，A，C，sin A，sin C，sin Bsinsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，根据得ABsin C1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙距离为d，则d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)，d2200(37t270t50)，0t，即0t8，t时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)由正弦定理得，BCsin A500(m)，乙从B出发时，甲已经走了50(281)550(m)，还需走710 m，才能到达C.设乙的步行速度为V m/min，则3，33，. 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在范围内
6、(法二)(1)如图作BDCA于点D，设BD20k，则DC15k，AD48k，AB52k，由AC63k1 260 m，知：AB52k1 040 m.(2)设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示则：AM130 x，AN50(x2)，由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcos A7 400 x214 000 x10 000，其中0x8 ，当x(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 (3)由(1)知：BC500 m，甲到C用时：(min)若甲等乙3分钟，则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min)此时乙的速度最小，且为：500 m/min.若乙等甲3分钟，
7、则乙到C用时：3 (min)，在BC上用时： (min)此时乙的速度最大，且为：500 m/min.故乙步行的速度应控制在范围内1(2013广州一模)如图，一条河的两岸平行，河的宽度d600 m，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知|AB|1 km，水流速度为2 km/h，若客船行驶完航程所用最短时间为6 min，则客船在静水中的速度大小为()A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h解析：设客船在静水中的速度大小是x km/h，由题意得，解得x6 km/h.答案：B2已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为_km.解析：如图，由题意可得，ACB120，AC2，AB3.设BCx，则由余弦定理可得：AB2BC2AC22BCACcos 120，即3222x222xcos 120，整理得x22x50，解得x1(舍去x1)答案：1