1、第八章立体几何 8.1空间几何体的结构、三视图与直观图A组基础题组1.下列命题:各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱;对角面是全等矩形的六面体一定是长方体;长方体一定是正四棱柱.其中正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3答案A直平行六面体的底面是菱形时,满足条件但不是正棱柱;底面是等腰梯形的直棱柱,满足条件但不是长方体;显然错误.2.下图是某几何体的三视图,则该几何体是由哪两种几何体组合而成的()A.两个长方体B.两个圆柱C.一个长方体和一个圆柱D.一个球和一个长方形答案C由三视图可知,该几何体的上部是一个圆柱,下部是一个长方体,故选C.3.如图所示,该几何体由一个圆柱中挖去一个以圆
2、柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得,现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是()A.B.C.D.答案D圆锥的轴截面为等腰三角形,此时符合条件;当截面不过旋转轴时,圆锥的截面为双曲线的一支,此时符合条件.故截面图形可能是.4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()答案C如图所示,过点A,E,C1的截面为平面AEC1F,则剩余几何体的左视图为选项C中的图形.故选C.5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.32B.23C.22D.2答案B根据三视图可得该四棱
3、锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中,由图可知,该四棱锥的最长棱为PD,PD=22+22+22=23.故选B.6.已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点,点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上.以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是()答案C当M与F重合,N与G重合,Q与E重合,P与B1重合时,三棱锥P-MNQ的俯视图为A中的图形;当M、N、Q、P是所在线段的中点时,三棱锥P-MNQ的俯视图为B中的图形;当M、N、Q、P位于所在线段的非端点位置时,存在三棱锥P-MNQ,俯视图
4、为D中的图形.故选C.7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4答案B由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱,该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形,其高为12.要得到最大球,则球与三个侧面相切,从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径,故最大球的半径r=2S6+8+10=2,其中S为底面直角三角形的面积.故选B.8.某几何体的直观图如图所示,则该几何体的三视图不可能是()答案CA显然正确;把几何体逆时针旋转90度,所得的三视图即为B;C中的侧视图是错误的;把几何体的前面作为底面,左、右
5、侧面还是分别作为左、右侧面,所得的三视图即为D.故选C.9.有一个长为5 cm,宽为4 cm的矩形,其直观图的面积为.答案52cm2解析由于该矩形的面积S=54=20(cm2),所以其直观图的面积S=24S=52(cm2).10.如图所示的RtABC绕着它的斜边AB所在直线旋转一周得到(用文字描述).答案两个圆锥的组合体解析RtABC绕着它的斜边AB所在直线旋转一周后得到两个圆锥的组合体,如图.11.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球O与正方体的各条棱都相切,M为球O上的一点,点N是ACB1外接圆上的一点,则线段MN长度的取值范围是.答案3-2,3+2解析易求得球O的半径为2,
6、易知ACB1为正三角形,且球心O到ACB1的外接圆上任意一点的距离均为12+(2)2=3,于是OM=2,ON=3.因为|OM-ON|MN|OM+ON|,所以线段MN长度的取值范围是3-2,3+2.12.如图所示,在侧棱长为23的正三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=40,过点A作截面AEF,求AEF周长的最小值.解析如图,将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,连接AA1,则线段AA1的长即AEF的周长的最小值.取AA1的中点D,连接VD,由题意知VA=VA1,则VDAA1,因为AVB=BVC=CVA=40,所以AVD=60.在RtVAD中,AD=VAsin 60=3,
7、所以AA1=2AD=6,即AEF周长的最小值为6.B组提升题组1.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是() 答案B由题意及题图得,球O1在正方体的面AA1C1C上的正投影与AC,AA1相切,球O2在正方体的面AA1C1C上的正投影与A1C1,CC1相切,排除C,D,因为两球的正投影有重合,所以排除A,故选B.2.某空间几何体中一条长为4的棱在该几何体的正视图中的投影是长为14的线段,在侧视图和俯视图中是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()A
8、.32B.33C.6D.35答案C由已知可得长为4的一条线段在正视图、侧视图和俯视图中的投影可形成一个面对角线分别是14,a,b的长方体,设此长方体的长、宽、高分别是x,y,z,则有x2+y2=b2,y2+z2=a2,z2+x2=14,且x2+y2+z2=16.可得a2+b2=18,由基本不等式,知a+b2a2+b22=3,即a+b6,当且仅当a=b时取到等号.故选C.3.已知正四面体ABCD的棱长为4,平面分别与棱AB,AC,AD交于点E,F,G,若EF=FG=3,GE=2,则满足条件的平面的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C设AE=x,AF=y,AG=z,由余弦定理知x2+y2-2x
9、ycos60=9,y2+z2-2yzcos60=9,z2+x2-2zxcos60=4,即x2+y2-xy=9,y2+z2-yz=9,z2+x2-zx=4.-得,(x-z)(x+z-y)=0.当x=z时,式变形为x2=4,即x=2.再将x=2代入,知y2-2y-5=0,解得y=1+6(负值舍去).故满足条件的平面有1个.当y=x+z时,代入,化简得x2+z2+xz=9,与式联立,得xz=52,x2+z2=132,即x2z2=254,x2+z2=132,所以x2,z2为方程t2-132t+254=0的两根,而=-1322-4254=6940,故该方程有两正根,即有序数对(x,z)有两对,则满足条件
10、的平面有2个.综上,满足条件的平面有3个.故选C.4.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2,则其母线与轴的夹角的大小为.答案3解析设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l.由题意得,rl12h2r=2l=2h母线与轴的夹角为3.5.半径为3+6的球体内装有4个半径相同的小球,则小球半径的最大值是.答案6解析设小球半径的最大值为r,R=3+6,由题意知,四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大,以四个小球球心为顶点的正四面体的棱长为2r,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心,该正四面体的高为4r2-24r2-r232=8r23=263r.设正四面体的外接球半径为x,则x2=263r-x2+23r32,所以x=62r,所以R=62r+r=3+6,所以r=6.