1、第四节 解直角三角形一、单选题（共15题）1在ABC中，AB=12，AC=13，cosB=，则BC边长为（）A7 B8 C8或17 D7或17答案：D解析：解答： cosB=，B=45，当ABC为钝角三角形时，如图1，AB=12，B=45，AD=BD=12，AC=13，由勾股定理得CD=5，BC=BD-CD=12-5=7；当ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12=5=17，故选D分析: 首先根据特殊角的三角函数值求得B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长2.如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，
2、则tanCAD的值（）A B C D答案：D解析：解答: 如图，延长AD，过点C作CEAD，垂足为E，tanB= ，即，设AD=5x，则AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA， ，CE= x，DE= x，AE= x，tanCAD=故选D分析: 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD放在直角三角形中3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A60 B90 C120 D150答案：A解析：解答: 如图，在ABC中，AB=AC，ADCB于D，依题意得CD：AD=1：=:3而t
3、anDAC=CD：AD，tanDAC=:3DAC=30，顶角BAC=60故选A分析: 本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题4. ABC中，B=90，AC=，tanC=，则BC边的长为（）A2 B2 C D4 答案:B解析：解答: B=90，tanC=，设AB=x，则BC=2x，AC=x，x=，解得x=1，BC=2x=2故选B分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形5. 在ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB=，则C的正弦值等于（）A B C D答案:C解析：解答: 过点A作ADBCsinB= ， =，AB=5，AD
4、=3，BD=4，BC=6，CD=2，AC=sinC= 故选C分析: 过点A作ADBC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可6. 在RtABC中，C=Rt，若BC：AC=3：4，BD平分ABC交AC于点D，则tanDBC的值为（）A B C D答案:B解析：解答:作DEAB于E，在RtABC中，设BC为3x，则AC为4x，根据勾股定理，AB=5x，设CD为a，BD平分ABC，则DE=CD=a，AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，在RtADE中，AD2=DE2+AE2，即（4x-a）2=a2+（2x）2，解得，a=x，tanDB
5、C=故选：B分析: 解直角三角形中的勾股定理等知识解答7. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AB=c，A=，则CD长为（）Acsin2 Bccos2 Ccsintan Dcsincos答案:D解析：解答：在RtABC中，ACB=90，AB=c，A=a根据已知条件在RtABC中，用AB和表示BC，在RtDCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案，sin= ，BC=csin，A+B=90，DCB+B=90，DCB=A=在RtDCB中，CDB=90，cosDCB= ，CD=BCcos=csincos，故选：D分析: 根据已知条件在RtABC中，用AB和表示BC，在RtDCB中，
6、根据余弦求出CD的长，得到答案8. 如图，在ABC中，C=90，AB=15，sinB=，则AC等于（）A3 B9 C4 D12答案:B解析：解答: sinB= AC=15=9故选B分析: 直接根据正弦的定义求解9.在锐角ABC中，cosA=，cosB=，BC=13，则ABC的面积为（）A B30 C78 D答案:D解析：解答: cosA= ，cosB= ，sinA=，sinB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= ， ，c=，ABC的面积为 acsinB= 13 =故选：D分析: 此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角
7、形的面积公式，熟练掌握公式是关键10. 在ABC中，A，B均为锐角，且sinA=，cosB= AC=40，则ABC的面积是（）A800 B800 C400 D400答案:D解析：解答:如图所示，过C作CDAB，在ABC中，A，B均为锐角，且sinA=，cosB=，A=B=30，BC=AC，D为AB中点，在RtACD中，AC=40，CD= AC=20，根据勾股定理得：AD= =20，AB=2AD=40则ABC的面积是 ABCD=400故选D分析: 如图所示，过C作CDAB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出A与B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形AC
8、D中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可11. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC和DEF，尺寸如图如果两个三角形的面积分别记作SABC、SDEF，那么它们的大小关系是（）A.SABCSDEF BSABCSDEF CSABC= SDEF D不能确定答案:C解析：解答: 如图，过点A、D分别作AGBC，DHEF，垂足分别为G、H，在RtABG中，AG=ABsinB=5sin 50=5sin 50，在RtDHE中，DEH=180-130=50，DH=DEsinDEH=5sin 50，AG=DHBC=4，EF=4，
9、SABC = SDEF故选C分析: 在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可12. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3 B1，1， C1，1， D1，2，答案:D解析：解答: A.1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B.12+12=（）2 ，是等腰直角三角形，故选项错误；C.底边上的高是，可知是顶角120，底角30的等腰三角形，故选项错误；D.解直角三角形可知是三个角分别是90，60，30的直角三角形，其中9030=3，符合“智慧三角形”的
10、定义，故选项正确故选：D分析: 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念13. 在直角三角形ABC中，已知C=90，A=40，BC=3，则AC=（）A3sin40 B3sin50 C3tan40 D3tan50答案:D解析：解答：B=90-A=90-40=50，又tanB= ，AC=BCtanB=3tan50故选：D分析: 利用直角三角形两锐角互余求得B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解14. 等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）A B C D答案: D解析：解答：AB=AC，BC=10cm，AB+BC+
11、AC=36cm，则AB=AC=13cm，作ADBC于D，AB=AC，BD=CD=BC=5，在RtABD中，AB=13，BD=5，AD=12，tanB= =故选D分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质15. 如图，在等腰RtABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBC=，则AD的长为（）A2 B4 C D答案:A解析：解答：在等腰RtABC中，C=90，AC=6，BC=AC=6在RtDBC中，C=90，tanDBC= DC= BC=4，AD=AC-DC=6-4=2故选A分析: 先由等腰直角三角形的性质得出
12、BC=AC=6，再解RtDBC，求出DC的长，然后根据AD=AC-DC即可求解二、填空题（共5题）16. 已知在ABC中，AB=AC=8，BAC=30，将ABC绕点A旋转，使点B落在原ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于_答案: 解析：解答: 作CHAE于H，AB=AC=8，B=ACB=（180-BAC）= （180-30）=75，ABC绕点A旋转，使点B落在原ABC的点C处，此时点C落在点D处，AD=AB=8，CAD=BAC=30，ACB=CAD+E，E=75-30=45，在RtACH中，CAH=30，CH= AC=4，AH
13、=，DH=AD-AH=8-4在RtCEH中，E=45，EH=CH=4，DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4故答案为分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质17.如图，在菱形ABCD中，AEBC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是_答案: 4.8解析：解答: 设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，因为AEBC于E，所以在RtABE中，cosB= ，又cosB=于是，解得x=10，即AB=10所以易求BE=8，AE=6，当E
14、PAB时，PE取得最小值故由三角形面积公式有： ABPE=BEAE，求得PE的最小值为4.8故答案为 4.8分析：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键18.如图，在菱形ABCD中，DEAB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是_答案: 40解析：解答: 已知如图DEAB，垂足是E，所以AED为直角三角形，则得：sinA=，即：=AD=10，菱形ABCD的周长为：104=40故答案为：40分析: 此题考查的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的关键是先根据直角三角形的性质求出菱形ABCD的边长AD19.如图，在等腰
15、RtABC中，C=90，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为_答案：2解析：解答：作DEAB于E，如图，C=90，AC=BC=6，ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6A=45，在RtADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在RtBED中，tanDBE= = ，BE=5x，x+5x=6，解得x=AD=2故答案为2分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为_答案：解析：解答：AC= 它们重叠部
16、分（图中阴影部分）的面积为1= 故答案为： 分析: 重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积三、解答题（共5题）21.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值答案： 解析：解答: 4+4=810，AB=AC=10，BC=4过点A作ADBC于点DAB=AC，ADBC，BD=DC=BC=2AB=AC=10，AD=sinABD=故答案为分析: 根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长作底边上的高，利用三角函数的定义求解22.如图，在ABC中，AC=2，A=45，tanB=，求BC的长答案:解析：解答：如图，过点C作CDAB于D， AC=2，A=45，CD=ACsinA=2sin45=
17、2=tanB= ，BD=CD tanB =BC=故答案为分析：过点C作CDAB于D，利用A的正弦值求出CD，再根据B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长23.在ABC中，若AB=AC=5，BC=8，求sinB的值答案：解析：解答：作ADBC于D，如图BD= BC=4，由勾股定理，得AD=3由正弦函数，得sinB= =故答案为：分析: 根据勾股定理，可得AD的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45，求该三角形的面积答案：2或1 解析：解答：当顶角为x+45时，则x+
18、x+x+45=180，解得x=45，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积= 22=2；当顶点为x时，则x+x+45+x+45=180，解得x=30，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，AB=AC=2，A=30，作CDAB于D，在RtADC中，A=30，CD=AC=1，三角形ABC的面积=CDAB= 12=1，综上所述，该三角形的面积等于1或2故答案为1或2分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰三角形的性质25.在ABC中，C=90，sinA=，BC=12，求AC的长答案：5解析：解答：在ABC中，C=90，sinA= =，BC=12，AB=13，AC=5故答案为5分析: 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形