1、课后限时集训(五)函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1下列函数中，在(0，)上单调递减的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)Af(x)在(0，)上是单调递减函数，故选A.2(2019三门峡模拟)设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，2C2，6 D2，)B易知f(x)是定义域R上的增函数f(a1)f(2a1)，a12a1，解得a2.故实数a的取值范围是(，2，故选B.3若函数f(x)4x2kx8在5,8上是单调函数，则k的取值范围是()A(，40 B(40,64)C(，4064，) D64
2、，)C由题意可知5或8，即k40或k64，故选C.4定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x2对称且f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3) Bf(0)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)Af(x)关于直线x2对称且f(x)在(，2)上是增函数，f(x)在(2，)上是减函数，又f(1)f(5)，且f(3)f(5)，f(3)f(1)，选A.5定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为()A1,2) B0,2)C0,1) D1,1)C由函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1
3、x2，得函数f(x)在2,2上单调递增由f(a2a)f(2a2)得解得0a1，故选C.二、填空题6函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为_(，1)由x210得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1)7(2019甘肃调研)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_(，2)(2，)因为函数f(x)ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241
4、，解得x2或2x.8(2019广州模拟)设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_(，14，)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.三、解答题9已知函数f(x)ax(1x)(a0)，且f(x)在0,1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值解f(x)ax(1x)x，当a0，即0a1时，g(a)f(1)a；当a0，即a1时，g(a)f(0).故g(a)所以g(a)的最大值为1.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调
5、递减，求a的取值范围解(1)证明：当a2时，f(x).任取x1，x2(，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，又由题意知f(x1)f(x2)0，所以(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.所以0a1.所以a的取值范围为(0,1B组能力提升1已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)D当x0时，两个
6、表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.2定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12C由题意可知f(x)f(x)x2在2,1上单调递增，f(x)maxf(1)1；又f(x)x32在(1,2上单调递增，f(x)maxf(2)2326.当x2,2时，f(x)max6.3函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的
7、单调性，则实数k的取值范围是_(，4)由于ylog3(x2)在(3，)上为增函数，故函数y2在(3，)上也是增函数，则有4k0，得k4.4已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数，f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)，得ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.