1、北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练(二)试题答案第1 页/共6页高三数学 20200321 双周练 参考答案及评分参考202003一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分1140 129132；(3,2 3)146315 5；2 55 注：第 13、15 题第一空 3 分，第二空 2 分.三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题共 14 分）解：（）因为2()3sincossin222xxxf x=+31 cossin22xx=+311sincos222xx
2、=+1sin()62x=+.5 分因为()f x 的最小正周期为2，即22T=，所以=.7 分（）因为0,02x，所以6626x.10 分 若()f x 在区间0,2上取到最大值 32，只需262，所以43.14 分 题 号12345678910答 案DCADABBCCA北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练(二)试题答案第2 页/共6页17.（本小题共 14 分）解：（）设高一年级有a 人，高二年级有b 人.采用分层抽样，有75,33612 33612ab=.所以高一年级有196人，高二年级有140人.4 分（II）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，
3、5 的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 35.7 分（III）的所有可能取值为1,2,3.8 分1232353(1)10C CPC=,2132353(2)5C CPC=,33351(3)10CPC=.所以 的分布列为 1 2 3 P 310 35 110 故 的期望3319()123105105E =+=.14 分 18（本小题共 14 分）（）证明:因为 PAD 是正三角形，O 是 AD 的中点，所以POAD.又因为CD平面 PAD，PO平面 PAD，所以POCD.DCDAD=，CDAD，平面 ABCD，所以PO面 ABCD.4 分（）如图，
4、以O 点为原点分别以OA、OG、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(PGDCBAO，)3,0,1(),3,2,1(FE，)3,2,1(),0,2,0(=EGEF，设平面 EFG 的法向量为),(zyxm=+=,032,02zyxy令1=z，则)10,3(，=m，6 分又平面 ABCD 的法向量)1,0,0(=n，7 分OzyxEFGPCDBA北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练(二)试题答案第3 页/共6页设平面 EFG 与平面 ABC
5、D 所成锐二面角为，所以21|cos=nmnm.所以平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角为 3.9 分（）假设线段 PA上存在点 M，使得直线GM 与平面 EFG 所成角为 6，设1,0,=PAPM，PAGPPMGPGM+=+=，所以)1(32,4,2(=GM.11 分所以76423,cos|6sin2+=mGM，13 分整理得02322=+，无解，所以，不存在这样的点 M.14 分19.（本小题共 14 分）解：（）由椭圆的定义，得12|24PFPFa+=，2a=.2 分将点(2,1)P的坐标代入22214xyb+=，得22114b+=，解得2b=所以，椭圆C 的方程是22142xy
6、+=.5 分（）依题意，得(2,1)Q设()00,M xy，则有220024xy+=，02x，01y .6 分直线 MP 的方程为0011(2)2yyxx=，令0y=，得00021yxxy=，.8 分所以00021yxOEy=直线 MQ 的方程为0011(2)2yyxx+=，北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练(二)试题答案第4 页/共6页令0y=，得00021yxxy+=+，.10 分所以00021yxOFy+=+所以220000002000222=111yxyxyxOEOFyyy+2200202(42)=1yyy.12 分=4所以 OEOF为定值.14 分 20（本小
7、题共 15 分）解：（）因为函数()lnf xxx=，所以1()lnln1fxxxxx=+=+,(1)ln1 11f=+=.又因为(1)0f=，所以曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为1yx=.4 分（）函数()lnf xxx=定义域为(0,)+，由（）可知，()ln1fxx=+.令()0fx=解得1ex=.6 分()f x 与()fx 在区间(0,)+上的情况如下：x1(0,)e1e1()e+，()fx0+()f x极小值所以，()f x 的单调递增区间是 1()e+，；()f x 的单调递减区间是1(0,)e.10 分北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练
8、(二)试题答案第5 页/共6页（）当 1eex时，“()1f xax”等价于“1lnaxx+”.11 分令1()lng xxx=+，1,eex，22111()xg xxxx=，1,eex.当1(,1)ex时，()0g x，所以()g x 在区间 1(,1)e单调递减.当(1,e)x时，()0g x，所以()g x 在区间(1,e)单调递增.13 分而1()ln eee 11.5eg=+=，11(e)ln e11.5eeg=+=+.所以()g x 在区间 1,ee上的最大值为1()e 1eg=.所以当e 1a 时，对于任意1,eex，都有()1f xax.15 分21（本小题共 14 分）解:（
9、）由条件知AS1，必有A1，又naaa21均为整数，11=a.2 分AS2，由AS 的定义及naaa21均为整数，必有A2，22=a.4 分（）必要性：由“naaa,21成等差数列”及11=a,22=a得),2,1(niiai=此时,3,2,1nA=满足题目要求从而)1(21321+=+=nnnS A.6 分充分性：由条件知,21naaa且均为正整数，可得),3,2,1(niiai=故)1(21321+=+nnnS A，当且仅当),3,2,1(niiai=时，上式等号成立.于是当)1(21+=nnS A时，),3,2,1(niiai=，从而naaa,21成等差数列.所以“naaa,21成等差数
10、列”的充要条件是“)1(21+=nnS A”.8 分（）由于含有n 个元素的非空子集个数有12 n，故当10=n时，10231210=，此时 A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.北京八中 2020 高三第二学期双周练(二)高三数学双周练(二)试题答案第6 页/共6页而用11个元素的集合1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1=A的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,3,2,1共 2047个正整数.因此当2020=AS时，n 的最小值为 11.10 分当2020=AS时，n 的最小值为 11.记102110aaaS+=则20201110=+aS并且11101aS+.事实上若11101aS+，11111022020aaS+=，则101011 a，10101110 aS，所以1010=m时无法用集合 A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是122020111110+=aaS，得2202111 a，*11Na，所以101011 a.当101011=a时1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1=A满足题意所以当2020=AS时，n 的最小值为 11，此时na 的最大值1010.14 分
