1、第四节函数yAsin(x)的图像及三角函数模型的简单应用考纲传真1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0，x0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.由ysin x的图像变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图像1“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.2在正弦函数图像、余弦函数图像
2、中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期3正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值4由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()(2)将y3sin 2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y3sin. ()(3)ysin的图像是由ysin的图像向右平移个单位得到的 ()(4)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)
3、(4)2(教材改编)y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2,4，B2，C2， D2,4，C由题意知A2，f，初相为.3为了得到y3cos的图像，只需把y3cos图像上的所有点的()A纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍 ，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D由题意可知，要得到y3cos的图像，只需把y3cos的图像横坐标缩短到原来的，纵坐标不变4已知直线x和点恰好是函数f(x)sin(x)图像的相邻的对称轴和对称中心，则，的值分别是()A2， B2，C4， D4，B，T.2.f(x)sin(2x)，又f0，sin0，k，k，kZ
4、，又|，.故选B5用五点法作函数ysin在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.；分别令x0，2，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，1,0)三角函数的图像及变换1要得到函数ysin的图像，只需将函数ycos 5x的图像()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位B函数ycos 5xsinsin 5，ysinsin 5，设平移个单位，则，解得，故把函数ycos 5x的图像向右平移个单位，可得函数ysin的图像2将函数f(x)sin的图像向左平移(0)个单位后，得到的图像关于直线x对称，则的最小值为()A.BC. DB把函数f(x)sin的图
5、像向左平移(0)个单位后，可得ysinsin的图像，所得图像关于直线x对称，44k(kZ)，(kZ)，0，min.3已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像规律方法1.yAsin(x)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标2由函数ysin
6、x的图像通过变换得到yAsin(x)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”求函数yAsin(x)的解析式【例1】(1)(2019太原模拟)函数f(x)2sin(x)0，的部分图像如图所示，则f(0)()ABC1 D(2)已知函数f(x)Asin(x)，xR其中A0，0,0的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.求f(x)的解析式；当x时，求f(x)的值域(1)A 因为，所以T，所以2.因为f2sin2，所以2k，kZ，所以2k，kZ.因为，所以，所以f(0)2sin，故选A.(2)解由最低点为M，得A2.由x轴相邻两个交点之间的距离为，得，即T，所以
7、2.由点M在图像上，得2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ)因为，所以.故f(x)2sin.因为x，所以2x.当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取最小值1.故f(x)的值域为1,2规律方法确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求：确定函数的周期T，则可得.(3)求：常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图像与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图像上
8、升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图像的“峰点”)时x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图像的“谷点”)时x；“第五点”时x2. (2019辽南五校联考)函数f(x)Acos(x)(0，0)的部分图像如图所示，则关于函数g(x)Asin(x)的下列说法正确的是()A图像关于点中心对称B图像关于直线x对称C图像可由y2cos 2x的图像向左平移个单位长度得到D在上递减D由图像可得A2，则最小正周期T，得2，又f2cos2，0，则，所以g(x)2sin，g2sin 0，A错误；g2sin 0，B错误；g(x)2sin2cos的图像可由y2cos 2x的图像向左平移个
9、单位长度得到，C错误；x时，2x，g(x)递减，D正确，故选D三角函数模型的简单应用【例2】某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102102sin，又0t24，所以t，1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .(2)依题意，当f(t)11时实验室需要降温由(1)得f(t)1
10、02sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温规律方法三角函数模型的实际应用类型及解题关键(1)已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系(2)函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模 如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8D10C根据图像得函数的最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.1(2017全国卷)已
11、知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D因为ysincoscos，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x
12、向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D2(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为()Ax(kZ)Bx(kZ)Cx(kZ)Dx(kZ)B将函数y2sin 2x的图像向左平移个单位长度，得到函数y2sin 22sin的图像由2xk(kZ)，得x(kZ)，即平移后图像的对称轴为x(kZ)3.(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为()Ak，k，kZB2k，2k，kZCk，k，kZD，kZD由图像知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx2k，kZ，f(x)的递减区间为，kZ.故选D4.(2016全国卷)函数ysin xcos x的图像可由函数ysin xcos x的图像至少向右平移_个单位长度得到因为ysin xcos x2sin，ysin xcos x2sin，所以把y2sin的图像至少向右平移个单位长度可得y2sin的图像