1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年湖南师大附中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1设（1+2i）xy16i，x，yR，则|xyi|（）A6B5C4D32下列说法正确的是（）A任意三点确定一个平面B两个不重合的平面和有不同在一条直线上的三个交点C梯形一定是平面图形D一条直线和一个点确定一个平面3在边长为3的等边三角形ABC中，则（）ABCD4一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为（）A8B2+2C4D85已知|1，|，AOB，若且m+n，则（）A5B4C2D1
2、6某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（）ANC与DE相交BCM与ED平行CAF与CN平行DAF与CM异面7如图所示，CD是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB，高为（1515）m，与雕像之间的地面上的点M处（B、M、D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（）A20mB30mC20mD30m8九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体
3、称为“鳖臑”如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且AA1AB2下列说法错误的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9对任意平面向量，下列命题中真命题是（）A若，则B若，则C|+|D|10已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）Aa，babBa，abb，且bCa，b，a，bD，a，bab11在ABC中，内角A
4、、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的面积为S，下列与ABC有关的结论，正确的是（）A若ABC为锐角三角形，则sinAcosBB若AB，则sinAsinBC若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形D若ABC为非直角三角形，则tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC12直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，（m0，n0），则下列结论正确的是（）A为常数Bm+2n的最小值为3Cm+n的最小值为Dm，n的值可以为：，n2三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的
5、表面积与侧面积的比是 14如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线共有 条15在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知SABC，且b3，则a+c的值等于 16如图，在ABC中，AB8，BC+AC12，分别取三边的中点D，E，F，将BDE，ADF，CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥PDEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为 ，三棱锥PDEF的体积为 四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知复数z1+mi（mR），是实数（1）求复数z；（2）若复数z0m+z
6、1是关于x的方程x2+bx+c0的根，求实数b和c的值18在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（1，0），且AOCx，其中O为坐标原点（）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（）若，向量，求的最小值及对应的x值19在bsinA+asinBcsinAsinB，bsinCccosAcosCacos2C，（ab）sinA+bsinBcsinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题已知锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，c2，_（1）求角C；（2）求a+b的取值范围20如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面
7、ABCD，PA2，AB1，设M、N分别为PD、AD的中点（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥ACMN的侧面积21党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，ACBC，BC5公里，BAC30，现需将A村的农产品运往B村加工乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为2a元/公里（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输
8、到B村试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由22已知ABC的外心为O，内心为I（1）如图1，若|1，0试用，表示；求的值（2）如图2，若存在实数，使，试求cosB+cosC的值参考答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1设（1+2i）xy16i，x，yR，则|xyi|（）A6B5C4D3解：（1+2i）xy16i，x，yR，x+2xiy16i，解得x3，y4，|xyi|34i|5故选：B2下列说法正确的是（）A
9、任意三点确定一个平面B两个不重合的平面和有不同在一条直线上的三个交点C梯形一定是平面图形D一条直线和一个点确定一个平面解：A选项：不共线的三点确定一个平面，故A错误；B选项：两个不重合的平面和有公共点，则该点一定在两个平面的交线上，故B错误；D选项：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故D错误；故选：C3在边长为3的等边三角形ABC中，则（）ABCD解：在边长为3的等边三角形ABC中，所以，则3故选：C4一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为（）A8B2+2C4D8解：还原直观图为原图形如图，因为OA1，所以OB
10、，还原回原图形后，OAOA1，OB2OB2OC3，所以原平面图形的周长为：3+1+3+18故选：A5已知|1，|，AOB，若且m+n，则（）A5B4C2D1解：，m+n0，m|cos+n|20，2，故选：C6某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（）ANC与DE相交BCM与ED平行CAF与CN平行DAF与CM异面解：由展开图恢复成正方体如图，其中F，M重合，显然CM与DE 平行，故选：B7如图所示，CD是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB，高为（1515）m，与雕像之间的地面上的点M处（B、M、D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15和60，
11、在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（）A20mB30mC20mD30m解：在RtABM中，sin15，解得AM30，在ACM中，CAM30+1545，AMC1801560105，所以ACM1804510530，由正弦定理得，故CMAM60在RtCDM中，CMD60，所以CDCMsin606030，估算该雕像的高度为30米故选：D8九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，且A
12、A1AB2下列说法错误的是（）A四棱锥BA1ACC1为“阳马”B四面体A1C1CB为“鳖臑”C四棱锥BA1ACC1体积最大为D过A点分别作AEA1B于点E，AFA1C于点F，则EFA1B解：在ABCA1B1C1中，ACBC，则BC平面A1ACC1，又四边形A1ACC1为矩形，四棱锥BA1ACC1为“阳马”故选项A正确；四面体A1C1CB中，A1C1C、A1BC、A1BC1、BCC1都是直角三角形，四面体A1C1CB为“鳖臑”，故选项B正确；当ACBC时，四棱锥BA1ACC1体积为：，故选项C错误；过点A分别做AEA1B于点E，AFA1C于点F，BCAC，BCAA1，ACAA1A，BC平面AA1
13、C1C，又AF平面AA1C1C，BCAF，A1CBCC，AF面A1BC，得AFA1B，AEAFA，A1B面AEF，而EF面AEF，EFA1B，故选项D正确故选：C二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9对任意平面向量，下列命题中真命题是（）A若，则B若，则C|+|D|解：若则，反例，则与，具有任意性，所以A不正确；若，则，向量向量相等的充要条件，正确；|+|如果，则不等式不成立，所以C不正确；|正确；故选：BD10已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（）Aa，babBa，
14、abb，且bCa，b，a，bD，a，bab解：a，b表示直线，表示平面，对于A，a，ba与b相交或平行，故A错误；对于B，a，abb或b，且b或b，故B错误；对于C，a，b，a，b与相交或平行，故C错误；对于D，由面面平行的性质得，a，bab，故D正确故选：ABC11在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的面积为S，下列与ABC有关的结论，正确的是（）A若ABC为锐角三角形，则sinAcosBB若AB，则sinAsinBC若acosAbcosB，则ABC一定是等腰三角形D若ABC为非直角三角形，则tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC解：对于A：当ABC为锐角
15、三角形时，A+B，AB，sinAsin（B）cosB，可得sinAcosB成立，故A正确对于B，由于AB，可得ab，由正弦定理可得sinAsinB，故B正确；对于C，若acosAbcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA2rsinBcosB，即sin2Asin2B，则2A2B或2A+2B180，即AB或A+B90，则ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D：ABC为非直角三角形，所以tanAtan（B+C），整理得tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC，故D正确；故选：ABD12直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，（m0，n0
16、），则下列结论正确的是（）A为常数Bm+2n的最小值为3Cm+n的最小值为Dm，n的值可以为：，n2解：根据题意，如图：依次分析选项：对于A，P是斜边BC上一点，且满足，则+，若，则+，又由M、P、N三点共线，则+1，变形可得+3；故+为常数，A正确；对于B，m+2n（+）（m+2n）5+5+23，当且仅当，即mn1时等号成立，则m+2n的最小值为3，B正确；对于C，m+n（+）（m+n）3+3+21+，当且仅当nm时等号成立，故C错误；对于D，当，n2，满足+3，此时M为AB的中点，C为AN的中点，符合题意；D正确；故选：ABD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13若一个圆
17、锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是4：3解：圆锥的侧面积为S侧12，设圆锥的底面圆半径为r，则2r1，解得r；所以圆锥的底面圆面积为S底，所以圆锥的表面积为S表S侧+S底+，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为：4：3故答案为：4：314如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线共有1条解：正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线有CB1，共1条故答案为：115在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知SABC，且b3，则a+c的值等于3解：由及正弦定理可得，
18、2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinA，因为sinA0，所以cosB，即B，因为SABCacsinBac，所以ac3，因为b3，由余弦定理可得，a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）299，则a+c3故答案为：316如图，在ABC中，AB8，BC+AC12，分别取三边的中点D，E，F，将BDE，ADF，CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥PDEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥PDEF的体积为解：由题意可知三棱锥PDEF的对棱分别相等，设BC2a，则AC1
19、22a，将三棱锥PDEF补成长方体，则面对角线长度分别为：a，6a，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：x，y，z，则x2+y2a2，y2+z2（6a）2，x2+z216所以x2+y2+z2a26a+26，所以外接球的半径为：r，当a3时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时r，解得xz2，y1，所以三棱锥的体积为：2故答案为：；四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知复数z1+mi（mR），是实数（1）求复数z；（2）若复数z0m+z1是关于x的方程x2+bx+c0的根，求实数b和c的值解：（1）z1+mi，
20、是实数，即m4z14i；（2）z0m+z124i是关于x的方程x2+bx+c0的根，（24i）2+b（24i）+c0，即（2b+c12）+（164b）i0，则，解得b4，c2018在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（1，0），且AOCx，其中O为坐标原点（）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（）若，向量，求的最小值及对应的x值解：（）若，设D（t，0）（0t1），可得，所以，所以 ，所以当时，取得最小值为，故最小值为（）由题意得C（cosx，sinx），则1sin（2x+）因为，所以所以当，即时，取得最大值1，所以时，取得最小值，所以的最小值为，此时 19在bsin
21、A+asinBcsinAsinB，bsinCccosAcosCacos2C，（ab）sinA+bsinBcsinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题已知锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，c2，_（1）求角C；（2）求a+b的取值范围解：若选bsinA+asinBcsinAsinB，（1）由bsinA+asinBcsinAsinB及正弦定理得，sinBsinA+sinAsinBsinCsinAsinB，即2sinAsinBsinCsinAsinB，sinC，又C为锐角，C；（2）ABC为锐角三角形，解得B，由正弦定理得：，b+aB，B+（），则sin（B+
22、）（b+a（2，4；若选bsinCccosAcosCacos2C，（1）由bsinCccosAcosCacos2C及正弦定理得，sinBsinCcosC（sinCcosA+sinAcosC），即sinBsinCcosCsin（A+C），sinBsinC，0B，sinB0，可得tanC，又0C，C；（2）ABC为锐角三角形，解得B，由正弦定理得：，b+aB，B+（），则sin（B+）（b+a（2，4；若选（ab）sinA+bsinBcsinC，（1）由（ab）sinA+bsinBcsinC及正弦定理得（ab）a+b2c2，即a2+b2c2ab，由余弦定理得：cosC，0C，C；（2）ABC为锐角
23、三角形，解得B，由正弦定理得：，b+aB，B+（），则sin（B+）（b+a（2，420如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1，设M、N分别为PD、AD的中点（1）求证：平面CMN平面PAB；（2）求三棱锥ACMN的侧面积【解答】证明：（1）ACD90，N为AD的中点，ANCN，又CAD60，ACN为等边三角形，ACN60，BCNBCA+ACN30+6090，即CNBC，又ABBC，CNAB，CN平面PAB，M、N分别为PD、AD的中点，MNPA，MN平面PAB，又MNCNN，MN平面CMN，CN平面CMN，平面CMN平面PAB（2
24、）PA平面ABCD，MNPA，MN平面ABCD，且MNPA1，SAMN11，SACN12，AC1，AM，CM，SACM1，故三棱锥ACMN的侧面积为+21党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，ACBC，BC5公里，BAC30，现需将A村的农产品运往B村加工乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为2a元/公里（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对
25、的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由解：（1）由于AB10公里，ACABsin305公里，第一种运输方案所需费用为20a元，第一种运输方案所需费用为（5+10）a元，510，（5+10）a20a，第二种运输方案比第一种方案更优（2）令BDC（30，90），则BD公里，DC公里，AD5DC5公里，于是，所需总费用为W（5）a+5a（），令y，则ysin+cos2，所以y2+1222，又y0
26、，则y，当y时，60，AD公里，即当中转站选址在南岸位于A东边公里的D处是最佳的22已知ABC的外心为O，内心为I（1）如图1，若|1，0试用，表示；求的值（2）如图2，若存在实数，使，试求cosB+cosC的值解：（1）O是ABC 外心，BC为O 的直径，BAC90 且O在斜边 BC 上，O为BC中点I 为ABC 的内心，AO 为线段BC的中垂线，AOBC 且OAC45，BAO45，I 在 AO上，作 IEAC，OFAC，设 AEx，则 ，连接 CI，CI 为角平分线，IOCIEC90，EIIOx，解得 ，（2）O 为ABC 外心 ，I 为ABC 内心 ，3（b+c）2a+2（b+c），高考资源网版权所有，侵权必究！
