1、高中同步测试卷(七)讲末检测 参数方程(B)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A只有圆才有渐开线B平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C正方形也可以有渐开线D对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同2直线x212t，y112t(t 为参数)被圆 x2y24 截得的弦长为()A.14B.13C2 3D33以 t 为参数的方程x112t，y2 32 t表示()A过点(1，2
2、)且倾斜角为3的直线B过点(1，2)且倾斜角为3的直线C过点(1，2)且倾斜角为23 的直线D过点(1，2)且倾斜角为23 的直线4直线x112t，y3 3 32 t(t 为参数)和圆 x2y216 交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标为()A(3，3)B(3，3)C(3，3)D(3，3)5双曲线 C：x 3cos，y4tan(为参数)的一个焦点为()A(3，0)B(4，0)C(5，0)D(0，5)6直线 3x4y90 与圆x2cos，y2sin(为参数)的位置关系是()A相切B相离C直线过圆心D相交但不过圆心7x、yR 且满足 x2y22x4y0，则 x2y 的最大值是()A.5B10C
3、9D52 58若曲线x1cos2，ysin2(为参数)，则点(x，y)的轨迹是()A直线 x2y20B以(2，0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2，0)和(0，1)为端点的线段9极坐标方程 cos 和参数方程x1ty23t(t 为参数)，所表示的图形分别是()A圆、直线B直线、圆C圆、圆D直线、直线10参数方程xsin2cos2y 2sin(为参数)的普通方程为()Ay2x21Bx2y21Cy2x21(|x|2)Dx2y21(|x|2)11已知一个圆的参数方程为x3cos，y3sin(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数 2对应的点 A 与点 B32，2 之间的距离为()A.21B.2C
4、.10D.32 112 我 们 知 道 关 于 直 线 y x 对 称 的 两 个 函 数 互 为 反 函 数，则 圆 的 平 摆 线xr（sin），yr（1cos）(为参数)关于直线 yx 对称的曲线的参数方程为()A.xr（sin），yr（1cos）(为参数)B.xr（1cos），yr（sin）(为参数)C.xrsin，yr（1cos）(为参数)D.xr（1cos），yrsin(为参数)题号123456789101112 答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确的答案填在题中横线上)13已知直线x 2tcos45，y1tsin45，点 M(3 2，a)在直线
5、上，则点 M 到点(2，1)的距离为_14.如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，则圆 x2y2x0 的参数方程为_15方程x3t22yt21(t 是参数)的普通方程是_，与 x 轴交点的直角坐标是_16渐开线x6（cossin），y6（sincos）(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍得到的曲线的两焦点间的距离为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子半径为 r，在轮幅上有一点 P与轮子中心的距离为 a(ar)，点 P 的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程1
6、8.(本小题满分 12 分)如图所示，已知点 M 是椭圆x2a2y2b21(ab0)上在第一象限的点，A(a，0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值19(本小题满分 12 分)已知圆 C：x2(y2)21 上一点 P，与双曲线 x2y21 上一点Q，求 P、Q 两点间距离的最小值20(本小题满分 12 分)如图，已知曲线 4x29y236(x0，y0)，点 A 在曲线上移动，点 C(6，4)，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使 ABx 轴，ADy 轴，求矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标21.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点
7、P(1，1)，倾斜角 6，(1)写出直线 l 的参数方程；(2)设 l 与圆 x2y24 相交于两点 A，B，求点 P 到 A，B 两点的距离之积22(本小题满分 12 分)已知曲线 C 的方程为x12（etet）cos，y12（etet）sin.(1)当 t 是非零常数，为参数时，C 是什么曲线？(2)当 为不等于k2(kZ)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？(3)两曲线有何共同特征？参考答案与解析 1解析：选 C.对 A，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故 A 不正确；对 B，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此 B 不正确；C 正确；对 D，同一个
8、圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同2解析：选 A.直线方程为 xy10，圆心到直线的距离 d 12 22.所以弦长222222 14.3解析：选 C.参数方程x112ty2 32 t，即x1cos23 ty2sin23 t，故直线过点(1，2)，倾斜角为23.4导学号 79390046 解析：选 D.112t23 3 32 t216，得 t28t120，设方程两根分别为 t1，t2，所以 t1t28，t1t224，中点为x1124，y3 3 32 4x3y 3.5解析：选 C.曲线 C 的普通方程为：x29y2161
9、，得焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5，0)，故选 C.6解析：选 D.圆x2cos，y2sin(为参数)的普通方程为 x2y24，则圆心(0，0)到直线3x4y90 的距离 d|30409|32（4）2 952，又 3040990，故选 D.7导学号 79390047 解析：选 B.设x1 5cos，y2 5sin(为参数)，则 x2y1 5cos42 5sin5sin()5，故(x2y)max10.8解析：选 D.x1cos21(12sin2)22y，所以 x2y20.又因为 x1cos20，2，ysin20，1所以点(x，y)的轨迹是以(2，0)和(0，1)为端点的线段9解析：选 A.
10、由 cos 得 2cos，所以 x2y2x，整理得x122y214，所以所表示的图形为圆由x1ty23t，得x1ty23t，消 t 得 3xy10，所以所表示的图形为直线，故选 A.10导学号 79390048 解析：选 C.x2sin2cos221sin，y22sin，所以 y2x21.又 xsin2cos2 2sin24 2，2，即|x|2.故应选 C.11解析：选 C.根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为x3（sin），y3（1cos）(为参数)，把 2代入参数方程中可得x321，y3，即 A321，3，所以|AB|321 322（32）2 10.12解析：选
11、B.关于直线 yx 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与 y 的互换所以要写出平摆线方程关于直线 yx 的对称曲线方程，只需把其中的 x 与 y互换13解析：由已知得 3 2 2tcos45，所以 t8，故点 M 到点(2，1)的距离为 8.答案：814导学号 79390049 解析：将 x2y2x0 配方，得(x12)2y214，所以圆的直径为 1.设 P(x，y)，则 x|OP|cos 1cos cos cos2，y|OP|sin 1cos sin sin cos，所以圆 x2y2x0 的参数方程为xcos2，ysin cos(为参数)答案：xcos2ysin cos(为
12、参数)15解析：由 yt21，得 t2y1，代入 x3t22，可得 x3y50，又 3t20，所以 x2，当 y0 时，t21，x3t225，所以与 x 轴交点的坐标是(5，0)答案：x3y50(x2)(5，0)16解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为 6，则基圆的方程为 x2y236，把横坐标伸长为原来的 2 倍，得到的椭圆方程x24y236，即 x2144y2361，对应的焦点坐标为(6 3，0)和(6 3，0)，它们之间的距离为 12 3.答案：12 317导学号 79390050 解：设圆滚动所沿直线为 x 轴，圆心和 P 点连线为 y 轴建立坐标系，圆滚动 角后圆心在 B 且与 x
13、轴切于点 A，作 PDOx，PCBA，垂足分别为 D、C，那么 OAMA r，设 P(x，y)，则xODOADArasinyDPACABCBracos，所以所求参数方程为xrasinyracos.18解：M 是椭圆x2a2y2b21(ab0)上在第一象限的点，由椭圆x2a2y2b21 的参数方程为xacos，ybsin(为参数)，故可设 M(acos，bsin)，其中 02，因此，S 四边形 MAOBSMAOSMOB12OAyM12OBxM12ab(sincos)22 absin4.所以，当 4时，四边形 MAOB 面积的最大值为 22 ab.19解：双曲线 x2y21 的参数方程为x 1co
14、s，ytan，则 Q1cos，tan，又圆心 C(0，2)，则|CQ|21cos2(tan2)2(tan21)(tan2)22(tan1)23，当 tan1，即 tan4时，|CQ|2 取最小值 3，此时有|CQ|min 3.又因为|PC|1，所以|PQ|min 31.20导学号 79390051 解：因为椭圆方程为x29y241，设 A(3cos，2sin)，0，2，则 B(6，2sin)，C(6，4)，D(3cos，4)，所以 SABCD|AB|AD|(63cos)(42sin)2412(sincos)6sincos，令 tsincos，则 t(1，2，sincost212，则 SABCD
15、3(t2)29.因为 t(1，2，所以当 t 2时，矩形面积最小，即 tsincos 2sin4 2，此时，4.所以矩形 ABCD 的面积最小时点 A 坐标是3 22，2.21解：(1)直线 l 的参数方程为x1tcos6y1tsin6，即x1 32 ty112t.(2)把直线x1 32 ty112t代入 x2y24，得(1 32 t)2(112t)24，即 t2(31)t20，所以 t1t22，所以点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2.22 导 学 号 79390052 解：(1)将 原 参 数 方 程 记 为 ，将 参 数 方 程 化 为2xetetcos，2yetetsin.平方相加消去，得x2etet22y2etet221.因为(etet)2(etet)20，所以方程的曲线为椭圆，即 C 为椭圆(2)将方程化为2xcosetet，2ysinetet.平方相减消去 t，得 x2cos2 y2sin21.所以方程的曲线为双曲线，即 C 为双曲线(3)在方程中etet22etet221，则 c1，椭圆的焦点坐标为(1，0)，(1，0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点
