1、课后限时集训(三十六)直接证明与间接证明、数学归纳法(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设 ()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于60B至少有一个包含“一个、两个和三个”，故其对立面三个内角都大于60，故选B.2(2019西安模拟)若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系是()APQBPQCPQ D由a的取值决定C假设PQ，则，即22a722a7，即，即a(a7)(a3)(a4)，即a27aa27a12，显然不成立，故PQ.故选C.3(2019哈尔滨模拟)用数学归纳
2、法证明不等式“1n(nN*，n2)”时，由nk(k2)时不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B2k1C2k D2k1Cnk1时，左边1，增加了，共(2k11)(2k1)2k项，故选C.4设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，故选A.5设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x
3、)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立D由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立，所以A错误；若f(1)1成立，则得到f(2)4，与f(2)0，ab0，b0，a0，bb2c2由余弦定理cos A0，得b2c2a2b2c2.三、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式
4、中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想an，bn的通项公式，并证明你的结论(2)证明：.解(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立假设当nk(kN*，k1)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么当nk
5、1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2).当n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.故.B组能力提升1设x，y，z0，则三个数，()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2C因为6，当且仅当xyz时等号成立所以三个数中至少有一个不小于2，故选C.2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBAA，又f(x)x在R上是减函数ff()f，即ABC.3
6、设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)_；当n4时，f(n)_(用n表示)5(n1)(n2)由题意知f(3)2，f(4)5，f(5)9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，猜测得出f(n)f(n1)n1(n4)有f(n)f(3)34(n1)，所以f(n)(n1)(n2)4等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式成立解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b0，且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由基本不等式可得成立，故成立，所以当nk1时，结论成立根据可知，nN*时，不等式成立