1、A级基础巩固1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量a,b,c不共面时,a,b,c可以是空间的一个基底,否则不是空间的一个基底.当a,b,c是空间的一个基底时,一定有a,b,c为非零向量.因此,p q,qp.答案:B2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,若BC=2CE,则D1E=()A.AB+AD+AA1B.AB+12AD-AA1C.AB+AD-AA1D.AB+13AD-AA1解析:如图,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1 F
2、E,所以四边形A1D1EF是平行四边形,所以A1F D1E,所以A1F=D1E.又因为A1F=A1A+AB+BF=-AA1+AB+12AD,所以D1E=AB+12AD-AA1.故选B.答案:B3.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,点E为BD的中点,若A1E=xAA1+yAB+zAD,则x+y+z=0.解析:连接AE(图略),由题意可得AE=12AB+12AD,则A1E=AE-AA1=12AB+12AD-AA1.因为A1E=xAA1+yAB+zAD,所以x=-1,y=z=12,所以x+y+z=0.4.在空间四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点分别为L,M,
3、AB+CB+AD+CD=4LM.解析:如图,取CD的中点E,连接EL,EM,则LE+EM=LM.又因为LE+EM=12AD+12CB=12(AD+CB),所以AD+CB=2LM,同理AB+CD=2LM.所以AB+CB+AD+CD=4LM.5.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F分别是PC,PB的中点,试用a,b,c表示向量BF,BE,AE,EF.解:如图,连接BO,则BF=12BP=12(BO+OP)=12(-a-b+c)=-12a-12b+12c.BE=BC+CE=BC+12CP=BC+12(CO+OP)=-a-12b+12c.AE
4、=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.EF=12CB=12OA=12a.B级拓展提高6.若M,A,B,C四点互不重合,且任意三点不共线,则能使向量MA,MB,MC成为空间的一个基底的条件是()A.OM=13OA+13OB+13OCB.MA=MB+MCC.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC解析:对于选项A,由OM=x OA+y OB+z OC(x+y+z=1),得M,A,B,C四点共面,知MA,MB,MC共面;同理可知选项C中MA,MB,MC不共面,可构成空间一个基底;对于选项B,D,易知MA,MB,MC共面.故选C.答案:C7
5、.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,则OG=()A.13OA+13OB+13OCB.12OA+13OB+14OCC.12OA+14OB+14OCD.14OA+14OB+16OC解析:连接OD(图略).在四面体OABC中,因为D是BC的中点,G是AD的中点,所以OG=12(OA+OD),OD=12(OB+OC).所以OG=12OA+14OB+14OC.故选C.答案:C8.给出下列命题:若a,b,c可以作为空间的一个基底,d与c共线,d0,则a,b,d也可以作为空间的一个基底;若向量ab,则a,b与任意一个向量都不能构成空间的一个基底;A,B,M,N是空间四点,若BA,BM
6、,BN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面;已知a,b,c是空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3 D.4解析:根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,显然命题正确.命题,由BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,知BA,BM,BN共面.又因为BA,BM,BN过相同点B,知A,B,M,N四点共面,故命题正确.假设d与a,b共面,则存在实数,使得d=a+b.因为d与c共线,c0,所以存在实数k,使得d=kc.因为d0,所以k0,从而c=ka+kb,所以c与a,b共面,与条件矛盾,所以d与a,
7、b不共面.故命题正确.同理可证命题也是正确的.故选D.答案:D9.若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是x=y=z=0.解析:若x0,则a=-yxb-zxc,即a与b,c共面.由a,b,c是空间的一个基底,知a,b,c不共面,故x=0,同理y=z=0.10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是线段A1D的中点,点N在线段C1D1上,且D1N=13D1C1,A1AD=A1AB=60,BAD=90,AB=AD=AA1=1.(1)求满足MN=xAB+yAD+zAA1的实数x,y,z的值.(2)求AC1的长.解:(1)因为
8、MN=MD1+D1N=12(AA1+AD)+13AB=13AB+12AD+12AA1,所以x=13,y=12,z=12.(2)因为AC1=AD+AB+AA1,所以|AC1|2=(AD+AB+AA1)2=AD2+AB2+AA12+2ADAB+2ADAA1+2ABAA1=1+1+1+0+1+1=5,所以|AC|=5,所以AC1=5. C级挑战创新11.多选题下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B.空间的基底不唯一C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中的基向量与基底e,f,g的基向量对应相等解析:只有不共面的三个非零向量才能构成空间向量
9、的基底,基底不唯一,因此选项A,D均不正确,选项B,C正确.答案:BC12.多空题已知空间的一个基底a,b,c,m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=1,y=-1.解析:因为m与n共线,所以存在实数,使m=n,即a-b+c=xa+yb+c,所以1=x,-1=y,1=,解得=1,x=1,y=-1.13.多空题如图,在平行六面体OABC-OABC中,OA=a,OC=b,OO=c,设G,H分别是侧面BBCC和底面OABC的中心,则向量AC=b+c-a,向量GH=12c-12b.(用a,b,c表示)解析: AC=AC+CC=OC-OA+OO=b+c-a.GH=GB+BH=-BG+BH=-12(BB+BC)+12(BA+BC)=-12(-OO-OA)+12(-OC-OA)=-12(-c-a)+12(-b-a)=12c-12b.
