1、16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练：1如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，AOD=120，AB=4cm，求对角线AC的长2如图，菱形ABCD中，A=60，对角线BD=5，求菱形的周长3如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F （1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 (1) (2)4如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边CD
2、E，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求AFD的度数5（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置上，ED与BC的交点为G，若EFG=55，求1、2的度数（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C位置，若AB=4cm，AD=12cm，求BE的长度6已知ABC，A：B：C=1：2：3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长7已知菱形的边长为10cm，则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_cm8如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分BAD为1，2，且1：2=1：2，AB=3cm，求AC的长9菱形ABCD的
3、两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？10对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？ 11如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且FBC=EBF，求证：BE=AE+CF二、课外演练1正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ） A四条边都相等 B对角线互相垂直平分 C对角线平分一组对角 D对角线相等2一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（ ） A56cm2 B28cm2 C14cm2 D36cm23如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的
4、（ ）A B C D （第3题） （第6题） （第8题）4若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线相交所成的锐角是（ ） A20 B40 C80 D1005菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_6如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，AOD的周长比AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积7如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60，那么（ ） A它的对角线长是长边长度的2倍 B它的对角线长是短边长度的2倍 C它的长边是短边长度的2倍 D上述关系无法确定8如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则SABE=（ ）
5、 A60 B100 C150 D2009能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（ ） A平行四边形、菱形; B矩形、正方形; C矩形、菱形; D菱形、正方形10如图16-2-21，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE，则EAC为（ ）A30 B45 C60 D75 （第10题） （第14题） （第15题）11矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_cm12菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_cm13菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为_cm14如图，若点P是正方形A
6、BCD内任意一点，且正方形的边长为1，若SABP =0.4，则SDCP =_15如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，两个正方形重叠部分的面积（ ） A B C D随着旋转而变化16如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BFDE，若AD=12cm，AB=7cm，AE：EB=5：2，则阴影部分的面积是_cm217如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）
7、2的值18有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法）19在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？20阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图所示，矩形ABEF即为ABC的“友好矩形”显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 （1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形” （2）如图，若AB
8、C为直角三角形，且C=90，在图16-2-28中画出ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小 （3）若ABC是锐角三角形，且BCACAB在图中画出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明答案:一、课内训练：1解：四边形ABCD是矩形， AC=BD，AO=CO=AC，OB=OD=BD（矩形对角线相等且互相平分） AO=CO=OB=OD 又AOD=120，AOB=60 AOB是等边三角形 即AO=BO=AB=4（cm） AC=24=8（cm） 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分的特征，矩形的两条对角线把矩形分成了四个等腰三角形，若矩形的两条对角线的夹角中，如果有60或
9、120的角，则必有等边三角形2解：四边形ABCD为菱形， AB=AD 又A=60，ABD为等边三角形 AB=AD=BD=5 菱形的周长为4AB=54=20 点拨：根据菱形的特征，四条边都相等，所以AB=AD，结合A=60，可得ABD为等边三角形，从而求得菱形的边长，进而求得菱形的周长3解：（1）因为四边形ABCD是正方形 所以BOE=AOF=90，OA=OB 又因为AMEB， 所以MAE+MEA=90=OBE+MEA 所以MAE=OBE 所以AOF绕O点逆时针方向旋转90可与BOE重合 所以OE=OF （2）OE=OF仍成立，说明如下： 因为四边形ABCD是正方形， 所以BOE=AOF=90，
10、BO=AO 因为AMEB，所以OEB+OAM=90=OFA+OAM 所以OEB=OFA 所以AOF绕O点逆时针旋转90后可与BOE重合 所以OE=OF 点拨：要使OE=OF，只需证明AOF和BOE重合，根据已知条件和正方形的特征易得到，“问题”的基本思路是先假设结论成立，然后用分析法探求其成立条件，若题设所给条件满足要求，则成立，反之则不成立4解：四边形ABCD是正方形 AB=AD，BAF=DAF ABF与ADF全等 AFD=AFB CB=CE，CBE=CEB BCE=BCD+DCE=90+60=150， CBE=15 ACB=45， AFB=ACB+CBE=60 AFD=60 点拨：易得AB
11、F与ADF全等，AFD=AFB，因此只要求出AFB的度数即可由AFB=ACB+EBC，ACB=45，转化为求EBC的度数，在等腰BCE中可求得5（1）解：在矩形ABCD中，ADBC， DEF=EFB，1+2=180 又EFG=55， 由对称性可知GEF=DEF=55 1=180-GEF-DEF=70 2=180-1=110 （2）解：设DE=xcm，则有DE=BE=x AD=10cm，AE=（10-x）cm 在RtABE中， BE2=AB2+AE2， 即x2=42+（10-x）2， 解得x=， BE的长为cm 点拨：（1）由矩形对边平行，知道DEF=EFG=55，而DEF与FEG是对应角，故F
12、EG=DEF=55，进而由平角定义，求出1=180-DEF-FEG，而1与2互补，从而求出2 （2）可设DE长度为xcm，由折叠可知DE=BE，从而AE=10-x，在RtABE中，应用勾股定理列方程：BE2=AB2+AE2，即x2=42-（10-x）2，从而求出x63cm 提示：ABC为Rt，AB为斜边，CD为斜边上的中线720cm86cm 提示：在RtABC中，C=30930cm2 提示：菱形对角线互相垂直，其面积为51210如图，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H，则得矩形BGHC GH=BC=AB，BG=CH，HGF+AGE=90，BAE+AGE=90，BAE=HGFABE=CHG
13、=90，AB=GH， ABEGHF BE=FH=FC+CH=FC+BG11解：延长DC至N，使CN=AE，连接BN， 则ABE与CBN全等 ABE=CBN，BE=BN， 四边形ABCD为正方形，CDAB NFB=ABF， ABF=ABE+EBF，NBF=NBC+CBF，EBF=FBC， NBF=NFB，BN=NF=CN+CF， BE=AE+CF二、课外演练1D 点拨：菱形对角线是互相垂直平分，但不一定相等2B 点拨：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半3B 点拨：由矩形是中心对称图形，对称中心为O，则SEOB=SFOD4C 点拨：利用矩形对角线相等且互相平分560 点拨：菱形的一条对角线与两边
14、组成一个等边三角形6解：在矩形ABCD中，OA=OB=OD， AOD的周长比AOB的周长大8， 则AD-AB=8 ， 又2（AD+AB）=80 ， 解得 AD=24，AB=16 S矩形ABCD=2416=384（cm2） 点拨：利用矩形的对角线相等且互相平分7B 点拨：当矩形两条对角线夹角中有一个为60时，一定有等边三角形8B 点拨：S矩形=2030=600，SABC =600=3009D 点拨：由于菱形和正方形的对角线平分每一组内角，而角平分线上的点到角两边的距离相等，因此菱形和正方形对角线的交点即为满足题意的点10B 点拨：由DAE=3BAE，得BAE=22.5， ABE=67.5OA=O
15、B，OAB=ABE=67.5， EAC=OAB-BAE=67.5-22.5=451136或42 点拨：矩形的宽可能是5cm或8cm126cm 点拨：注意菱形的面积等于两条对角线乘积的一半13 点拨：由菱形特征和斜边上的中线等于斜边的一半可求得1401 点拨：SABP +SDCP =SADP +SBCP =S正方形ABCD15A 点拨：由正方形可得AOF和BOE是旋转对称图形，所以S阴=SAOB =S正方形ABCD1624 点拨：解法一：用矩形面积减去两个直角三角形面积； 解法二：阴影部分为平行四边形，SBEDF =BEAD=212=24（cm）217解：根据勾股定理，由图易得 a2+b2=13
16、， 正方形EFGH的边长为b-a，（b-a）2=1 即b2+a2-2ab=1 把代入得 2ab=12 而（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=2518如图19解：由勾股定理得 SA+SB+SC+SD=S最大正方形=4920解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF，易知矩形BCAD、ABEF的面积都等于ABC面积的2倍，ABC的“友好矩形”的面积相等 （2）题 (3)题 （3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1、L2、L3 ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c，L1-L2=（+2a）-（+2b）=2（a-b），而abS，ab L1-L20，即L1L2，同理可得L2L3 L3最小，即矩形ABHK的周长最小 点拨：根据矩形的特征、三角形面积的有关知识解决
