1、 5.2平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组 1.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)c,则实数k的值为() A.2B.12C.114D.-114答案B由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)c,得-5(k-1)=k+2,解得k=12,故选B.2.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底、下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,
2、2)答案D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.故选D. 3.已知在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(3,3),若将向量OP绕点O按逆时针方向旋转2后得到向量OQ,则点Q的坐标是()A.(-3,3)B.(-3,3)C.(-3,3)D.(-3,3)答案C设Q(x,y),由题意知x2+y2=12,3x+3y=0,x0,解得x=-3,y=3.故选C.4.在RtABC中,ACB是直角,CA=4,CB=3,ABC的内切圆交CA,CB分别于点
3、D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若CP=xCD+yCE,则x+y的值可以是()A.1B.2C.4D.8答案B以射线CB,CA分别为x轴,y轴的正半轴建立平面直角坐标系.解法一:设M(2,0),N(0,2),则由题设及线性规划知识可知,当点P在线段MN(不含线段端点及圆内)上时,x+y=2,所以选B.解法二:设M(2,0),N(0,2),连接DE,易知DEMN,且MNDE=2,所以当点P在线段MN(不含线段端点及圆内)上时,x+y=2,所以选B.5.已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为()A.2-1B.2C.2+1D.2+2答案C建
4、立如图所示的平面直角坐标系,由题意知ab,又a与b是单位向量,可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y).c-a-b=(x-1,y-1),|c-a-b|=1,(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.而|c|=x2+y2,|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=2+1,故选C.6.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),若ab,则2a+3b=,若ab,则2a+3b=.答案(-4,-8);(-4,7)解析若ab,则有1m-2(-2)=0,解得m=-4,此时b=(-2,-4),2a+3b=2(1,2)+3(-2
5、,-4)=(-4,-8);若ab,则有ab=1(-2)+2m=0,解得m=1,此时b=(-2,1),2a+3b=2(1,2)+3(-2,1)=(-4,7).7.(2019温州中学月考)在ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是ABC的内心,若AO=pAB+qAC,则pq的值为.答案32解析易求得ABC内切圆的半径r=327,建立如图所示的平面直角坐标系,则O0,327,A-32,0,C32,0,B0,72,所以AO=32,327,AB=32,72,AC=(3,0),所以32,327=p32,72+q(3,0).则32p+3q=32,72p=327,解得p=37,q=27,所以pq=32.8.
6、在平面内,已知向量a=(1,3),b=(4,-3),c=(6,5),若非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则向量p=xa+yb+zc的模的取值范围是.答案5,61解析如图,建立平面直角坐标系xOy,设OA=a,OB=b,OC=c,OP=p,x+y+z=1,x=1-y-z,OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA),即AP=yAB+zAC.y0,z0,y+z=1-x1,点P在ABC内(含边界).易知原点O到直线AB:2x+y-5=0的距离为|OP|的最小值,|OP|55=5.易知|OP|的最大值为|OC|=36+25=61.综上可知,向量p的模的取
7、值范围是5,61.9.正ABC的边长为1,AP=xAB+yAC,且0x1,0y1,12x+y32,则动点P所形成的平面区域的面积为.答案338解析分别以边AB,AC所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系.以向量AB,AC为一组基底,则P点坐标为(x,y).分别过B,C作AC,AB的平行线并交于点D,0x1,0y1,点P所在的平面区域为平行四边形ACDB的内部(含边界),又12x+y32,点P所在区域为图中阴影部分,动点P所形成的平面区域的面积为11sin 60-2121212sin 60=338.10.(2019效实中学月考)设向量a=(+2,2-3cos 2),b=m,m2+sincos
8、,其中,m,为实数.(1)若=12,求|b|的最小值;(2)若a=2b,求m的取值范围.解析(1)当=12时,b=m,m2+14,|b|2=54m2+m4+116=54m+1102+120,|b|min=510.(2)由题意知+2=2m,2-3cos 2=m+sin 2,则4m2-9m+4=sin 2+3cos 2=2sin2+3-2,2,解得14m2,而m=2-2m,所以m-6,1.B组提升题组1.已知ABC是边长为1的正三角形,点D满足AD=AB+AC,其中1,2,1,2,则点D所在区域的面积是() A.38B.34C.32D.3答案C如图,将边AB和AC分别延长到原来的2倍,构造菱形AE
9、PF,则点D所在区域是边长为1的菱形MNPQ,易得菱形MNPQ的面积是21211sin3=32.故选C.2.(2019绍兴一中月考)在ABC中,已知ABAC=9,sin B=cos Asin C,SABC=6,P为线段AB上的点,且CP=xCA|CA|+yCB|CB|,则xy的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案C设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin Ccos A,即sin Acos C=0,易知sin A0,所以cos C=0,所以C=90,又ABAC=9,所以bccos A=9,故b2=9
10、,所以b=3.因为SABC=6,所以12ab=6,故a=4,易得c=5,故建立如图所示的直角坐标系,则A(3,0),B(0,4),则由题设可知P(x,y),直线AB:x3+y4=1且x0,y0,所以x3+y4=12xy12,即xy3,应选C.3.在ABC中,ACB为钝角,CA=CB=1,当tR时,|CA-tCB|的最小值为32,若CP=xCA+(1-x)CB(xR),则|CP|的最小值为.答案12解析由题意得ACB=120,由CP=xCA+(1-x)CB易知A,B,P三点共线,所以当CPAB时,|CP|有最小值,此时|CP|的最小值为12.4.设P为ABC所在平面上的一点,且满足3PA+4PC
11、=mAB(m0).若ABP的面积为8,则ABC的面积为.答案14解析以AB,AC作为一组基底,则3PA+4PC=mAB可以化简为-3AP+4(AC-AP)=mAB,所以AP=47AC-m7AB.因为m0,所以点P在ABC外.易知ABP的高是ABC高的47,又两三角形同底,所以ABC的面积为874=14.5.已知平面上三点A,B,C,BC=(2-k,3),AC=(2,4).(1)若三点A,B,C不能构成三角形,则实数k的值是;(2)若ABC为直角三角形,且B=90,则实数k的值是.答案(1)12(2)3或-1解析(1)A,B,C三点不能构成三角形,A,B,C三点共线,存在实数,使BC=AC,2-
12、k=2,3=4,k=12.(2)BC=(2-k,3),AC=(2,4).AB=CB-CA=(k-2,-3)-(-2,-4)=(k,1),ABC为直角三角形且B是直角,ABBC,ABBC=-k2+2k+3=0,解得k=-1或3.6.已知函数f(x)=ax2(a0),点A(5,0),P(1,a),若存在点Q(k, f(k)(k0),使OP=OA|OA|+OQ|OQ|(为常数),则k的取值范围是.答案(2,+)解析Q(k,ak2),OA|OA|=(1,0),OQ|OQ|=ka2k4+k2,ak2a2k4+k2,OP=(1,a),OA|OA|+OQ|OQ|=1+ka2k4+k2,ak2a2k4+k2,OP=OA|OA|+OQ|OQ|(为常数),ak2a2k4+k2-a1+ka2k4+k2=0,ak2-ak=aa2k4+k2=aka2k2+1,a,k0,k-1=a2k2+1,即k2-2k+1=a2k2+1,若a=1,则k=0,不符合题意,a1,k=21-a2.a0且a1,k0,01-a22.故答案为(2,+).