1、 9.2两条直线的位置关系和距离公式A组基础题组 1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-m,m+1),若直线ABPQ,则m的值为()A.-1B.0C.1D.2答案CABPQ,kAB=kPQ,即0-3-4-2=m+1-1-m-(-3),解得m=1(经检验直线AB与PQ不重合).故选C.2.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为()A.x-y+1=0B.x-y=0C.x+y+1=0D.x+y=0答案A由题意知直线l与直线PQ垂直,直线PQ的斜率kPQ=-1,所以直线l的斜率k=-1kPQ=1.又直线l经过PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-
2、3=x-2,即x-y+1=0.3.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为()A.12B.-12C.2D.-2答案Al2与l1y=2x+3关于直线y=-x对称,l2的方程为-x=-2y+3,即y=12x+32,l2的斜率为12,故选A.4.(2017浙江杭州二模)设k1,k2分别是直线l1,l2的斜率,则“l1l2”是“k1=k2”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A由题意可知,直线l1,l2的斜率都存在,若l1l2,则k1=k2,若k1=k2,则l1与l2平行或重合,所以“l1l2”是“k1=k2
3、”的充分不必要条件,故选A.5.两直线xm-yn=a与xn-ym=a(其中a为不等于零的常数)的图象可能是()答案B解法一:直线方程xm-yn=a可化为y=nmx-na,直线方程xn-ym=a可化为y=mnx-ma,由此可知两条直线的斜率同号,故排除A,C,D,选B.解法二:直线方程xm-yn=a中用-x代换y,-y代换x,得xn-ym=a,故两条直线关于直线y=-x对称,故选B.6.“a=2”是“直线ax+y-1=0和直线(a+2)x+ay+1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案C当a=0时,直线ax+y-1=0和直线(a+2)x+
4、ay+1=0不平行;而当a0时,若两直线平行,则有-a=-a+2a,得a=2或a=-1,但a=-1时,两直线不平行,所以必要性成立,而当a=2时,两直线平行,故充分性成立,故选C.7.过圆C:(x-1)2+y2=1的圆心且与直线2x+y-2=0垂直的直线方程是() A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0答案A设直线方程为x-2y+n=0,因为该直线经过圆心C(1,0),所以n=-1,所以所求直线方程为x-2y-1=0,故选A.8.(2017台州中学月考)设ABC的一个顶点是A(3,-1),B,C的平分线方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A
5、.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-x2+52答案C点A关于直线x=0的对称点是A(-3,-1),关于直线y=x的对称点是A(-1,3),由角平分线的性质可知点A,A均在直线BC上,直线BC的方程为y=2x+5,故选C.9.已知直线l1:3x+4y-3=0与直线l2:6x+my+14=0平行,则两直线之间的距离是.答案2解析由题意得36=4m,解得m=8,所以直线l2的方程为6x+8y+14=0,即3x+4y+7=0,所以两直线之间的距离d=|-3-7|32+42=2.10.已知直线l1:a(a-1)x+y=1,l2:ax+(a-1)y=1,若l1l2,则a的值是;若l1l
6、2,则a的值是.答案0;1解析由l1l2,得a(a-1)(a-1)-1a=0,即a2(a-2)=0,解得a=0或a=2,当a=2时,l1,l2重合,不合题意,故a=0.若l1l2,则a(a-1)a+1(a-1)=0,即(a2+1)(a-1)=0,解得a=1.11.已知两条直线l1:y=2,l2:y=4,设曲线y=3x与l1,l2分别交于点A,B,曲线y=7x与l1,l2分别交于点C,D,则直线AB与直线CD的交点坐标是.答案(0,0)解析依题意有A(log32,2),B(2log32,4),则直线AB的方程为y=2log32x.同理,C(log72,2),D(2log72,4),则直线CD的方
7、程为y=2log72x.由y=2log32x,y=2log72x得x=0,y=0,即直线AB与直线CD的交点坐标是(0,0).12.已知单位正方形的四个顶点A(0,0),B(1,0),C(1,1)和D(0,1),从A点向边CD上的点P34,1发出一束光线,这束光线被正方形各边反射(入射角等于反射角),光线经过正方形某个顶点后射出,则这束光线在正方形内经过的路程长度为.答案5解析如图,可知这束光线经过5次反射后从某个顶点射出,光线在正方形内经过的路程为图中AQ的长,|AQ|=32+42=5.13.已知点P(2,-1).(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;(2)求过P点且与原点距离最大的
8、直线l的方程,并求出最大距离;(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解析(1)过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得|-2k-1|k2+1=2,解得k=34.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过P点且与原点距离最大的直线是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-1kOP=2.由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2
9、x-y-5=0,则2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为|-5|5=5.(3)由(2)可知,过P点不存在与原点距离超过5的直线,所以不存在过P点且与原点距离为6的直线.B组提升题组 1.已知P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示() A.过点P且与直线l垂直的直线B.过点P且与直线l平行的直线C.不过点P且与直线l垂直的直线D.不过点P且与直线l平行的直线答案D因为点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,所以Ax0+By0+C0,所以方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0中的常数项
10、C+(Ax0+By0+C)C,因此方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示不过点P且与直线l平行的直线,故选D.2.(2017浙江镇海中学模拟)已知直线l:Ax+By+C-1=0(A0,B0)恒过定点(m,0),若点(2,2)到直线l的最大距离为2,则12A+1C的最小值为()A.14B.34C.4D.92 答案C由题可知2=(m-2)2+22,所以m=2,所以2A+C=1.12A+1C=12A+1C(2A+C)=2+C2A+2AC4,当且仅当C=2A,即A=14,C=12时,取等号.故选C.3.已知A(3,1),B(-1,2),若ACB的平分线所在直线的方程为y=x+1,则直线AC
11、的方程为.答案x-2y-1=0解析设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B(x0,y0),则有y0-2x0+1=-1,y0+22=x0-12+1,解得x0=1,y0=0,即B(1,0).因为B(1,0)在直线AC上,所以直线AC的斜率k=1-03-1=12,所以直线AC的方程为y-1=12(x-3),即x-2y-1=0.4.(2018河南八市重点中学联考)已知直线l1与直线l2:4x-3y+1=0垂直且与圆C:x2+y2=-2y+3相切,则直线l1的方程是.答案3x+4y+14=0或3x+4y-6=0解析圆C的方程为x2+(y+1)2=4,圆心坐标为(0,-1),半径r=2.由已知可设
12、直线l1的方程为3x+4y+c=0,则|30+4(-1)+c|32+42=2,解得c=14或c=-6.即直线l1的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-6=0.5.已知f(a,b)=32+(5-a)2+(5-2b)2+(5-b)2+4(b-1)2+(b-a)2,其中a,bR,则f(a,b)的最小值是.答案45解析f(a,b)=(5-2)2+(5-a)2+(5-2b)2+(5-b)2+(2-2b)2+(a-b)2,所以f(a,b)可视为点(5,5),(2,a),(2b,b)两两之间的距离之和,又因为点(2,a)在直线x=2上,(2b,b)在直线y=12x上,点Q(5,5)关于直线x=2的对称点
13、为A(-1,5),设点Q关于直线y=12x的对称点为B(x0,y0),则y0-5x0-5=-2,y0+52=12x0+52,解得x0=7,y0=1,借助图象可知(5,5),(2,a),(2b,b)三个点的距离之和的最小值为A(-1,5)和B(7,1)之间的距离,即(7+1)2+(1-5)2=45.6.过点P(2,1)作直线l,与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点,求:(1)AOB面积的最小值及此时直线l的方程;(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;(3)|AP|PB|=35时,直线l的方程.解析设直线l:y-1=k(x-2),k0,b0),由l过点P(2,1)得2a+1b=1,直线l在两坐标轴上截距之和=a+b=(a+b)2a+1b=3+2ba+ab3+22,当且仅当2ba=ab,2a+1b=1,即a=2+2,b=2+1时,取得最小值3+22,此时直线l的方程为x+2y-2-2=0.(3)当|AP|PB|=35时,5AP=3PB,可得k=-56,此时直线l的方程为5x+6y-16=0.
