1、第六节对数与对数函数考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNlogaNxloga10，logaa1，alogaNN运算法则l
2、oga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式换底公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2.对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的性质定义域(0，)值域R性质单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值变化规律当x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y03.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0
3、，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)log2x22log2x.( )(2)当x1时，logax0.( )(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg(x3)(x3)的定义域相同( )(4)对数函数ylogax(a0，且a1)的图象
4、过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象不在第二、三象限( )答案(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，clog，则( )Aabc BacbCcba DcabD0a2201，blog2log210，cloglog1，cab.3已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由图象可知yloga(xc)的图象是由ylogax的图象向左平移c个单位得到的，其中0c1.再根据单调性可知0a1.4(教材改编)若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值范围是( )A. B(1，)C
5、.(1，) D.C当0a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.即实数a的取值范围是(1，)5计算：2log510log5_，2_.22log510log5log52，因为log43log23log2，所以22.对数式的化简与求值1(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.2原式lg 2(lg 2lg 50)lg 252lg 22lg 52.22 _.3原式22323.3log23log38()_.5原式3log23log323325.4设2a5bm，且2，则m_. 2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.规律方法对数
6、运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；(4)利用常用对数中的lg 2lg 51.对数函数的图象及应用【例1】(1)(2019大连模拟)函数ylg|x1|的图象是( )A B C D(2)(2019厦门模拟)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是( )A. B.C(1，) D(，2)(3)函数yloga(x2)2恒过定点P，则点P的坐标为_(1)A(2)B(3)(3,2)(1)函数ylg|x1|的图象可由函数ylg|x|的图象向右平移1个单位得到，
7、故选A.(2)构造函数f(x)4x和g(x)logax，要使0x时，4xlogax，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可当a1时不满足条件；当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知只需fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.(3)由x21得x3，当x3时，y2，则点P的坐标为(3,2)规律方法对数函数图象的识别及应用(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (1)函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为(
8、 ) A B C D(2)函数ylog2(x1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为_(3)若不等式(x1)2logax在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为_(1)A(2)(0,0)(3)(1,2(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称设g(x)loga|x|，先画出x0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)由x11得x0，当x0时，y0，则点P的坐标为(0,0)(3)设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不
9、等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0a1时，显然不成立；当a1时，如图所示，要使x(1,2)时，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，所以1a2，即实数a的取值范围是(1,2对数函数的性质及应用考法1比较对数值的大小【例2】(1)已知alog29log2，b1log2，clog2，则a，b，c的大小关系为( )Aabc BbacCcab Dcba(2)设alog3，blog2，clog3，则a，b，c的大小关系为( )Aabc B
10、acbCbac Dbca(1)B(2)A(1)alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因为函数ylog2x在(0，)上是增函数，且23，所以bac，故选B.(2)blog2log23，clog3log32，则bc，又alog3log331，blog2log221，因此abc，故选A.考法2解对数不等式【例3】(1)(2018江苏高考)函数f(x)的定义域为_(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_(1)2，)(2)(1,0)(1，)(1)由题意知，log2x10，即log2xlog22.解得x2，即函数f(x)的定义域为2，)(2)由题
11、意，得或即或解得a1或1a0.考法3复合函数的单调性、值域或最值【例4】函数f(x)log (x24x5)的单调递增区间为_，值域为_(2,5)2log3，)由x24x50，解得1x5.二次函数yx24x5的对称轴为x2.由复合函数单调性可得函数f(x)log (x24x5)的单调递增区间为(2,5)又x24x5(x2)299，所以f(x)log92log3，即函数f(x)的值域为2log3，)规律方法1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
12、(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较2解对数不等式的类型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论(2)形如logaxb的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解3解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 (1)(2018天津高考)已知alog3，b，clog，则a，b，c的大小关系为( )Aabc BbacCcba Dcab(2)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是( )A1,2 B0,2C1，) D0，)(3)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a
13、的取值范围为( )A1,2) B1,2C1，) D2，)(1)D(2)D(3)A(1)cloglog35，则log35log3log331，又1，因此cab，故选D.(2)当x1时，21x2，解得x0，所以0x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.(3)令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1,2)1(2016全国卷)若ab0,0c1，则( )Alogaclogbc BlogcalogcbCacbc DcacbB0c1，当ab1时，logaclogbc，A项错误；0c1，ylogcx在(0，)上单调递减，又ab0，logcalogcb，B项正确；0c1，函数yxc在(0，)上单调递增，又ab0，acbc，C项错误；0c1，ycx在(0，)上单调递减，又ab0，cacb，D项错误2(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a)若f(3)1，则a_.7由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7.自我感悟：_