1、河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（竞赛班，含解析）考试时间为120分钟，总分150一、选择题1. 对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（ ）A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 与抽取的次数有关【答案】A【解析】【分析】根据简单随机抽样的概念，直接选出正确选项.【详解】根据简单随机抽样的概念可知，每个个体每次被抽到的机会相等，故选A.【点睛】本小题主要考查简单随机抽要的概念，属于基础题.2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.3. 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，
2、组成没有重复数字的四位数的个数为()A. 300B. 216C. 180D. 162【答案】C【解析】分两类:一、当偶数取时，则有；二、当偶数取或时，考虑首位，只有三个数可排，故有，因此共有.所以应选C.4. 从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为()A. 70.09 kgB. 70.12 kgC. 70.55 kgD. 71.05 kg【答案】B【解析】试题分析：由表中数据可得，一定在回归直线方程上，69=05
3、6170+a，解得a=-162y=056x-162，当x=172时，y=056172-162=7012考点：线性回归方程5. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A. 0.65B. 0.35C. 0.3D. 0.005【答案】B【解析】分析：根据对立事件的概率公式求解.详解：由题得事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.点睛：(1)本题主要考查对立事件的概率公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(
4、2)对立事件的概率公式为.6. 已知命题：，命题：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】先求出命题，对应的范围，由集合的关系进行判断得出结论.【详解】由可得或命题：，命题： 所以由，反之不成立.所以是的充分不必要条件故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包
5、含7. 假设要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋中抽取袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将袋牛奶按、进行编号，如果从随机数表第行第列开始向右读，请你写出抽取检测的第袋牛奶的编号是（ ）（下面摘取了随机数表第行至第行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0
6、7 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据随机数表法读取中样本中前个个体的编号，由此可得出结果.【详解】由题意可知，样本中前个个体的编号分别为、.因此，抽取检测的第袋牛奶的编号是.故选：B.8. 已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，若弦恰被点平分，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】设两点坐标代入方程，根据题意利用点差法得到方程，再代入用中点坐标，即可得解.【详解】设,，则由题意得两式相减得：整理得：又弦被点平分，则，代入上式得，即直线的斜率为，故选：B.【点睛】方法
7、点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单9. 有下列调查方式：学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90100分，10人低于90分现在从中抽取12人座谈了解情况；运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ）.A. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B. 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D
8、. 系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进行判断【详解】（1）系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取2人；（2）是分层抽样，因为60人中分数有明显差异；（3）是简单随机抽样，因为6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，故选D【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；（3）分成抽样就是按比例抽取10. 若，则（ ）A. 1B. 0C. D. 【答案】C【解析】【分析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系
9、数和公式可求得的值.【详解】，当且时，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.11. 已知的顶点和，顶点在椭圆上，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出、，然后利用正弦定理边角互化以及椭圆的定义可求得所求代数式的值.【详解】在椭圆中，则，所以，、分别为椭圆的左、右焦点，由于的顶点在椭圆上，由椭圆的定义可得，因此，.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）与椭圆焦点三角形相关的问题，一般利用椭圆的定义求解；（2）与三角形正弦值比值相关
10、的问题，可考查利用正弦定理边角互化求解.12. 已知是抛物线上的两个动点且，则中点到直线距离的最小值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】当过抛物线焦点时，中点到直线距离的最小值，因为，所以两点到准线距离为，则两点到直线的距离为故中点到直线距离的最小值是，故选点睛：本题主要考查的是抛物线的简单性质的知识点要求两动点到直线的距离最小当且仅当直线过抛物线焦点时，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而求出结果，转化过焦点是解题的关键二、填空题13. 已知求得一组数据、平均数是，那么这组数据中位数是_.【答案】【解析】【分析】利用平均数可求出的值，再将数据由小到大
11、排列，即可求得这组数据的中位数.【详解】由平均数公式可得，解得，将这组数据由小到大排列依次为：、，因此，这组数据的中位数为.故答案为：.14. 某班的5名同学代表班级参加学校组织的知识竞赛，在竞赛过程中，每人依次回答问题，为更好的发挥5人的整体水平，其中同学只能在第一或最后一个答题，和同学则必须相邻顺序答题，则不同的答题顺序编排方法的种数为_（用数字作答）【答案】24【解析】【分析】先安排有种，再安排和有种，最后其余2为同学有种，由分步计数原理可得答案.【详解】由同学只能在第一或最后一个答题，则同学的答题位次有种和同学则必须相邻顺序答题，则和相邻的选法有种其余2位同学有种则不同的答题顺序编排方
12、法的种数为种.故答案为：2415. 我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.【答案】098.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养侧重统计数据的概率估算，难度不大易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据
13、，估算出正点列车数量与列车总数的比值16. 已知是椭圆和双曲线的公共顶点，其中，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（都异于），且满足（），设直线的斜率分别为，若，则_.【答案】【解析】如图所示，满足，其中（），三点共线设，则，故答案为.点睛：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题；由满足，利用向量的平行四边形法则可得：，三点共线，设，分别利用点在双曲线与椭圆上结合斜率计算公式，再利用整体代换思想可求得 结果.三、解答题17. 设命题：函数在上是减函数，命题：函数的定义域为全体实数，如果是真命题，求实数的取值范围.【答案】【
14、解析】【分析】若函数在上递减，只需，函数的定义域为全体实数，则恒成立，函数即可.【详解】解：若为真，则，即；若为真，则，解得，由是真命题可知，真且假，即.解得：或，故实数的取值范围是.【点睛】求解根据含逻辑连接词的命题真假求参数的取值范围的问题时，先求解当和都是真命题时参数的取值范围，则成立时，只需计算其补集，最后根据“或”、“且”、“非”的关系求解即可18. 某商场5个分店某日的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额x/万元35679利润额y/万元23345(1)求关于销售额的回归直线方程；(2)当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额(万元)附：对于一组数据，其回归线斜率和截距
15、的最小二乘估计分别为；，【答案】（1）；（2）2.4万元【解析】【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）将代入回归直线方程求得估计值.【详解】（1），故，故.（2）当时，万元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，属于基础题.19. 从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中至少有一名女生的概率【答案】(1)；(2)【解析】【详解】试题分析：设2名女生 为，3名男生为，列举可得总的基本事件数，分别可得符合题意的基本事件数，由古典概型的概率公式可得试题解析：设2名女生
16、为，3名男生为，从中选出2人的基本事件有：，共10种（1）设“所选2人中恰有一名男生”的事件为，则包含的基本事件有：，共6种，故所选2人中恰有一名男生的概率为（2）设“所选2人中至少有一名女生”的事件为，则包含的基本事件有：，共7种，故所选2人中至少有一名女生的概率为考点：古典概型及其概率计算公式【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为，即；
17、第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数，事件包含的样本点数为，则事件的概率.20. 已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线：，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则
18、，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.21.为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在17018cm之间的概率【答案】（）估计全校男生人数为400人（）p=0.5（）（或）【解析】试题分析：（
19、1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170185之间的学生有14+13+4+3+1=35人样本容量为70，所以样本中学生身高在170185之间的频率为0.5，故可估计该校学生身高在170185之间的概率.（3）样本中女生身高在165180之间的人数为10，身高在,170180之间的人数为4.设表示事件“从样本中身高在165180之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170185之间”，则考点：本题考查了频数分布图的运用及概率的求法点评：对于概率的求解问题，要弄清楚事件的类型，然后选择相应的概率公式求解即可22. 在平面直角坐标系
20、中，动点到点和的距离分别为和，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）是否存在直线过点与轨迹交于，两点，且以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，从而由椭圆的定义可得答案.（2）设，两点的坐标依次为，以线段为直径的圆过原点得，即，先假设存在直线满足题设，设直线的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当时，在中，由余弦定理得：.又，整理得，所以点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，（除长轴的两个端点）又当点为该椭圆的长轴的两个端点时，也满足.所以点的轨迹的方程是.（2）假设存在直线满足题设，设直线的方程为，由 得设，两点的坐标依次为，由韦达定理得，.由题意以线段为直径的圆过原点得，即.又，整理得：.代入整理得：，即；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时、，经验证不满足题意.综上所述，所求直线存在，其方程为.【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段为直径的圆过原点，得，即，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.
