1、第二节参数方程考纲传真1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)常用结论根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交
2、，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l|t1t2|；(2)弦M1M2的中点t1t20；(3)|M0M1|M0M2|t1t2|.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)
3、(4)2(教材改编)曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上B由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为_3将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.4曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C的普通方程为_y22x2(1x1)由(为参数)消去参数，得y22x2(1x1)5(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则a_.3直线l的普通方程为xya0，
4、椭圆C的普通方程为1，椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3a0，a3.参数方程与普通方程的互化(题组呈现)1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)解(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.当t1时，0x1；当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中或(2)y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin21，0x21，2x3，所求的普通方程为2xy40(2x3)2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程解圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则PCx2，故xPco
5、s 2cos2，yPsin 2sin cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)规律方法消去参数的方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.参数方程的应用(例题对讲)【例1】(2019石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)由消去，得圆
6、C的普通方程为x2y216.又直线l过点P(1,2)且倾斜角，所以l的参数方程为即(t为参数)(2)把直线l的参数方程代入x2y216，得2216，t2(2)t110，所以t1t211，由参数方程的几何意义，|PA|PB|t1t2|11.规律方法1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2.对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题. 已知ABC中，C45，边AB，BC的垂直平分线的交点为O，且ABC外接圆的半径是1.(1)建立适当的坐标系，求ABC外接圆的参数方程；(2)若存在实数p，q使pq，求pq的
7、取值范围解(1)因为线段AB，BC的垂直平分线的交点为O，则O为ABC的外心，且点C在优弧AB上，建立如图所示的平面直角坐标系则易得ABC外接圆的参数方程是(为参数)(2)由(1)知点C的坐标可以表示为(cos ，sin ).由A(0,1)，B(1,0)，C(cos ，sin )及pq，得psin ，qcos .于是pqsin，又，所以pq，1)故pq的取值范围是，1)极坐标、参数方程的综合应用(例题对讲)【例2】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两
8、点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得yxtan .设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知，圆心坐标为(6,0)，半径为5.又|AB|，由垂径定理及点到直线的距离公式得，即，整理得k2，解得k，即l的斜率为.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以
9、l的斜率为或.规律方法处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点
10、，求M的极径解(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为.1(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)曲线C
11、的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.
