1、第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题考纲传真1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想定点问题【例1】已知椭圆E：1(b0)的一个焦点与抛物线：y22px(p0)的焦点F相同，如图，作直线AF与x轴垂直，与抛物线在第一象限交于A点，与椭圆E相交于C，D两点，且|CD|.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线l不经过A点且与抛物线相交于N，M两点，若直线AN，AM的斜率之积为1，证明l过定点解(1)由椭圆E：1(b0)，得b29c2，由题可知F(c,0)，p2c，把xc代入椭圆E的方程，得yb2，yC.|CD|，解得c2.抛物线
2、的标准方程为y24cx，即y28x.(2)证明：由(1)得A(2,4)，设M，N，kMA，kNA，由kMAkNA1，得y1y24(y1y2)480.(*)设直线l的方程为xmyt，由得y28my8t0，y1y28m，y1y28t，代入(*)式得t4m6，直线l的方程为xmy4m6m(y4)6，直线l过定点(6，4)规律方法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A
3、，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标解(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的斜率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，
4、x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)定值问题【例2】已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x1)2y216相切(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设G(m,0) 为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，|GA|2|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值解(1)由题意，设动圆P的半径为r，则|PM|4r，|PN|r，可得|PM|PN|4rr4，点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，2a4,2c2，b，椭圆的方程为1.即点P的轨迹C的方程为1.(2)设A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知2m2，直线l：yk(xm)，由得(34k2)x28k2mx4k2m2120，x1x2，x1x2，y1y2k(x1m)k(x2m)k(x1x2)2km，y1y2k2(x1m)(x2m)k2x1x2k2m(x1x2)k2m2，|GA|2|GB|2(x1m)2y(x2m)2y(x1x2)22x1x22m(x1x2)2m2(y1y2)22y1y2(k21).要使|GA|2|GB|2的值与m无关，需使4k230，解得k，此时|GA|2|GB|27.规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入
6、代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，ABF1的周长为8，且AF1F2的面积的最大时，AF1F2为正三角形(1)求椭圆C的方程；(2)若MN是椭圆C经过原点的弦，MNAB，求证：为定值解(1)由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，又ABF1的周长为8，所以|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，即a
7、2.由椭圆的对称性可得，AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a2c，即c1，b2a2c23，则椭圆C的方程为1.(2)证明：若直线l的斜率不存在，即l：x1，求得|AB|3，|MN|2，可得4.若直线l的斜率存在，设直线l：yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，由可得(34k2)x28k2x4k2120，有x1x2，x1x2，|AB|，由ykx代入椭圆方程，可得x，|MN|24，即有4.综上可得，为定值4.范围问题【例3】已知m1，直线l：xmy0，椭圆C：y21，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点(1)当直线l过右焦点F2时，求直
8、线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围解(1)因为直线l：xmy0经过F2(，0)，所以，得m22.又因为m1，所以m，故直线l的方程为xy10.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得2y2my10，则由m28m280，知m28，且有y1y2，y1y2.由于F1(c,0)，F2(c,0)，可知G，H.因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以0，即x1x2y1y20.所以x1x2y1y2y1y2(m21)0.解得m24(满足m28)又因为m1，所以实数m的取值范围是(1,2
9、)规律方法圆锥曲线中范围问题的求解方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用已知的或隐含的不等关系，构建不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解(1)由题意知2b2，b1.e，a2b2c2，a2
10、.椭圆的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得消去y，得(4k21)x28kmx4m240，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2.原点O到直线l的距离d，d21.又k2，0d2，0d.原点O到直线l的距离的取值范围是.最值问题【例4】(2019
11、太原模拟)已知椭圆M：1(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)由题意，c1，b23，所以a24，所以椭圆M的方程为1，易求直线方程为yx1，联立方程，得消去y，得7x28x80，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，288，x1x2，x1x2，所以|CD|x1x2|.(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0；当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，联立
12、方程，得消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|，因为k0，上式当且仅当k时等号成立，所以|S1S2|的最大值为.规律方法圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值.(2)几何法：从圆锥曲线几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线
13、AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)2(2013全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ABCD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3| .由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB| ，当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.