1、2.12导数的应用(二)一、选择题1函数f(x)x33x29xa(a为常数)，在2，2上有最大值20，那么函数在2，2上的最小值为()A37 B7C5 D112已知函数f(x)1x，则下列结论正确的是()Af(x)在(0，1)上恰有一个零点Bf(x)在(0，1)上恰有两个零点Cf(x)在(1，0)上恰有一个零点Df(x)在(1，0)上恰有两个零点3若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则P点到直线yx2的最小距离是()A1 B.C. D.4已知f(x)是可导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则()Af(1)e2 014f(0)Bf(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)C
2、f(1)ef(0)，f(2 014)e2 014f(0)Df(1)ef(0)，f(2 014)0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围解析：(1)由题意知f(1)3c，因此bc 3c，从而b3.又对f(x)求导得f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)由题意f(1)0，因此a4b0，解得a12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x (x0)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1时，f(x)0，此时f(x
3、)为增函数因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，)(3)由(2)知，f(x)在x1处取得极小值f(1)3c，此极小值也是最小值，要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2.即2c2c30，从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.所以c的取值范围为(，1.10(2016辽宁调研)已知函数f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常数，aR.(1)当a1时，求f(x)的极值，并证明|f(x)|g(x)恒成立；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解析：(1)当a1时，f(x)xln x，f(x)1
4、.当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.f(x)在(0，e上的最小值为1.令h(x)g(x)，则h(x)，当0x0，则h(x)在(0，e上单调递增，h(x)maxh(e)g(x)恒成立(2)假设存在实数a，使f(x)axln x，x(0，e，有最小值3.f(x)a.当a0时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，a0时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln a3，ae2，满足条件当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)m
5、inf(e)ae13，a(舍去)，e时，不存在实数a使f(x)的最小值为3.综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3.11某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由解析：(1)设日销售量为件，则10，k10e40.则日销售量为件，每件利润为(x30a)元，则日利润L(x)10e40(35x41)(2)L(x)10e40(35x41)当2a4时，3331a35，L(x)0，L(x)在35，41上是减函数当x35时，L(x)的最大值为10(5a)e5.当4a5时，3531a36，由L(x)0得xa31，当x(35，a31)时，L(x)0，L(x)在(35，a31)上是增函数当x(a31，41时，L(x)0，L(x)在(a31，41上是减函数当xa31时，L(x)的最大值为10e9a.综上可知，当2a4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，当4a5时，日售价为a31元可使日利润L(x)最大