1、第六章 综合性问题 几何图形综合性问题【题型概述】几何图形综合题主要以研究图形中点与线之 间 的 位 置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用解答几何综合题应注意:()注意观 察、分 析 图 形,把 复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形;()掌握常规的证题方法和思路;()运用转化的思想解决几 何 证 明 问 题,运 用 方 程 的 思 想 解 决 几 何 计 算 问题,还要灵活运用其他的数学思想方法等【典题演示】()【例】(浙江杭州)如图,AE 切O 于点E,AT 交O于
2、点 M、N,线段 OE 交AT 于点C,OBAT 于点B,已知 EAT,AE,MN()求COB 的度数;()求O 的半径R;()点 F 在 O 上(FME 是劣弧),且EF,把OBC 经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点 E、F 重合,在 EF 的同一侧,这样的三角形共有多 少 个?你 能 在 其 中 找 出 另 一 个 顶 点 也 在 O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与OBC 的周长之比【思路点拨】()由 AE 与O 相切,根据切线的性质得到AE 与CE 垂直,又OB 与AT 垂直,可得出两直角相等,再由一对对顶角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可
3、得出三角形 AEC 与三角形OBC 相似,根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A 相等,由A 的度数即可求出所求角的度数()在直角三角形 AEC 中,由 AE 及tanA 的值,利用锐角三角函数定义求出CE 的长,再由OB 垂直于 MN,由垂径定理得到B 为 MN 的中点,根据 MN 的长求出 MB 的长,在直角三角形OBM 中,由半径OMR,及 MB 的长,利用勾股定理表示出OB 的长,在直角三角形 OBC 中,表示出 OB 及cos的值,利用锐角三角函数定义表示出 OC,用 OEOCEC 列出关于R 的方程,求出方程的解得到半径R 的值()把OBC 经过平移、旋转和相似变换后,使它的
4、两个顶点分别与点E、F 重合在 EF 的同一侧,这样的三角形共有个,如图所示,每个图有个顶点在圆上的三角形,延长EO 与圆交于点 D,连 接 DF,由 第 二 问 求 出 半 径 的 长,直 径ED 的长,根据ED 为直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到三角形EFD 为直角三角形,由FDE 为,利用锐角三角函数定义求出 DF 的长,表示出三角形 EFD 的周长,再由第二问求出的三角形 OBC 的 三 边 表 示 出 三 角 形BOC 的周长,即可求出两三角形的周长之比【完全解答】()AE 切O 于点E,AECE又 OBAT,AECCBO又 BCOACE,AECOBC又 A,COBA()AE,
5、A,在 RtAEC 中,tanAtanECAE,即 ECAEtan OBMN,B 为 MN 的中点又 MN,MB MN连接OM,在MOB 中,OMR,MB,OBOMMB R在COB 中,BOC,cosBOCcosOBOC ,BO OC OC OB R又 OCECOMR,R R整理,得RR,即(R)(R),解得R(舍去)或R则R()在EF 同 一 侧,COB 经 过 平 移、旋 转 和 相 似 变 换后,这样的三角形有个如图()()(),每个图有个顶点在圆上的三角形延长EO 交圆O 于点D,连接 DF,如图()所示 EF,直径ED,可得出FDE,FD 则CEFD ,由()可得CCOB ,CEFD
6、 CCOB()()【归纳交流】本题是一道几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题这类问题的主要特点是包第六章 综合性问题含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法 灵 活解 题 时 必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图 形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各 种 数学思想才能解决,如本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、含 直角三角形的性质、平移及旋转的性质以及锐角三角函数定义,熟练掌握定理及性质是解题的关键【例】(广东珠
7、海)已知,AB 是O 的直径,点 P在弧AB 上(不含点 A、B),把AOP 沿OP 对折,点 A 的对应点C 恰好落在O 上()当点 P、C 都 在 AB 上 方 时(如 图(),判 断 PO 与BC 的位置关系(只回答结果);()当点 P 在AB 上方而点C 在AB 下方时(如图(),()中结论还成立吗?证明你的结论()当点 P、C 都在AB 上方时(如图(),过点 C 作CD直线 AP 于D,且CD 是O 的切线,证明:ABPD()()()【思路点拨】()PO 与BC 的位置关系是平行;()由折叠可知三角形 APO 与三角形CPO 全 等,根 据全等 三 角 形 的 对 应 角 相 等
8、可 得 出 APO CPO,再 由OAOP,利用等边对等角得到AAPO,等量代换可得出ACPO,又根据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 得 到 APCB,再等量代换可得出 CPO PCB,利用内错角相等两直线平行,可得出 PO 与BC 平行;()由CD 为圆O 的切线,利用切线的性质得到OC 垂直于CD,又 AD 垂直于CD,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到 OC 与AD 平行,根据“两直线平行,内错角相等”得到APO COP,再利用折叠的性质得到 AOPCOP,等量代换可得出APOAOP,再由OAOP,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出三角形AOP 三内角相等,
9、确 定 出 三 角 形 AOP 为 等 边 三 角 形,根 据等边三角形 的 内 角 为 得 到 AOP 为,由 OP 平 行 于BC,利用“两直线平行,同位角相等”可得出OBCAOP,再由OBOC,得到三角形 OBC 为等边三角形,可得出COB 为,利用平角的定义得到POC 也为,再加上OPOC,可 得 出 三 角 形 POC 为 等 边 三 角 形,得 到 内 角OCP 为,可求出PCD 为,在直角三角形PCD 中,利用所对的直角边等于斜边的一半可得出 PD 为PC 的一半,而PC 等于圆的半径OP,等于直径AB 的一半,可得出PD 为AB 的 ,即 ABPD【完全解答】()PO 与BC
10、的位置关系是POBC()()中的结论 POBC 成立,理由为:由折叠可知:APOCPO,APOCPO又 OAOP,AAPO ACPO又 A 与PCB 都为 PB 所对的圆周角,APCB CPOPCB POBC()CD 为圆O 的切线,OCCD又 ADCD,OCAD APOCOP由折叠可得:AOPCOP,APOAOP又 OAOP,AAPO AAPOAOP APO 为等边三角形 AOP又 OPBC,OBCAOP又 OCOB,BCO 为等边三角形 COB POC(AOPCOB)又 OPOC,POC 也为等边三角形 PCO,PCOPOC又 OCD,PCD在 RtPCD 中,PD PC又 PCOP AB
11、,PD AB,即 ABPD【归纳交流】本题是一道几何论证型综合题值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的 难 度 普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几 何 论 证型综合题命题的新趋势本题考查了切线的性质、等 边 三 角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、折叠的性质、圆周角定理以及平行线的判定与性质,熟练掌握性质及判定是解本题的关键【名题选练】(福建三明)如图,在 ABC 中,点 O 在AB 上,以 O为圆心的圆经过A、C 两点,交 AB 于点D,已知A,B,且()求证:BC 是O 的切线;()若OA,sin ,
12、求BC 的长(第题)(山东威海)如图,AB 为O 的直径,弦 CDAB,垂足为点EK 为AC上一动点,AK、DC 的延长线相交于点F,连接CK、KD()求证:AKDCKF;()若 AB,CD,求tanCKF 的值(第题)(江 苏 宿 迁)如 图,在 四 边 形 ABCD 中,DABABC,CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E,EFAB 于点F,EF 交BD 于点G设 ADa,BCb()求CD 的长度(用a,b表示);()求EG 的长度(用a,b表示);()试判断EG 与FG 是否相等,并说明理由(第题)(湖北十堰)如图(),O 是ABC 的外接圆,AB 是直径,ODAC,且CBDBAC,OD
13、 交O 于点E()求证:BD 是O 的切线;()若点E 为线段OD 的中点,证明:以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形;()作 CF AB 于 点 F,连 接 AD 交 CF 于 点 G(如图(),求 FGFC的值()()(第题)(广西钦州)如图,AB 是O 的直径,AC 是 弦,直 线EF 经过点C,ADEF 于点D,DACBAC()求证:EF 是O 的切线;()求证:ACADAB;()若 O 的半径为,ACD,求图中阴影部分 的面积(第题)(福建宁德)如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D,D()求A 的度数;()过 点 C 作CFAB,
14、垂 足 为 E,交 O 于 点F,CF,求弧BC 的长度(结果保留)(第题)第六章 综合性问题(内蒙古赤峰)如图,AB 是O 的弦,点 D 是半径OA上的动点(与点 A、O 不重合),过点 D 垂直于OA 的直线交O 于点E、F,交 AB 于点C()点 H 在直线EF 上,如果 HCHB,那么 HB 是 O的切线吗?请说明理由()连接 AE、AF,如 果AF FB,并 且 CF,FE,求 AF 的长(第题)(广 西 贵 港)如 图,RtABC 的 内 切 圆 O 与 AB、BC、CA 分 别 相 切 于 点 D、E、F,且 ACB,AB,BC,点 P 在射线AC 上运动,过点 P 作PH AB
15、,垂足为 H()直接写出线段 AC、AD 及O 半径的长;()设 PHx,PCy,求y 关于x 的函数关系式;()当 PH 与O 相切时,求相应的y 值(第题)第六章 综合性问题 几何图形综合性问题()连接OC OAOC,ACOA BOCAACO,BOCB BCO,即OCBC BC 是O 的切线()由()可得,OCOA,OCBC,在 RtBOC 中,sinOCOB,sin ,OB OB BCOBOC()连接 AD、AC CKF 是圆内接四边形ADCK 的外角,CKFADC AB 为O 的直径,弦CDAB,ADAC ADCACDAKD AKDCKF()连接OD AB 为O 的直径,AB,OD 弦
16、CDAB,CD,DECE CD(垂径定理)在 RtODE 中,OEODDE,AE在 RtADE 中,tanADEAEDE CKFADE,tanCKF()AB 为半圆的直径,DABABC,DA、BC 为半圆O 的切线又 CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E,DEDAa,CECBb CDab()EFAB,EGBC EGBCDEDC,即EGba(ab)EG abab()EG 与FG 相等理由如下:EGBC,DGDBEGBC,即EGb DGDB又 GFAD,FGADBGBD,即FGa BGBD,得EGb FGa DGDBBGBD而EG abab,aabFGa,FG abab EGFG()AB 是O
17、的直径,BCA ABCBAC又 CBDBAC,ABCCBD ABD OBBD BD 为O 的切线()连接CE、OC、BE,如图(第题)OE ED,OBD,BEOEED OBE 为 等 边 三 角形 BOE又 ACOD,OAC又 OAOC,ACOAOE ACOE 且ACOE 四边形OACE 是平行四边形而 OAOE,四边形OACE 是菱形()CFAB,AFCOBD而 ACOD,CAFDOB RtAFCRtOBD FCBDAFOB,即FCBDAFOBFGBD,AFGABD FGBDAFAB,即FGBDAFAB FCFGABOB FGFC ()连接OC OAOC,BACOCA DACBAC,OCAD
18、AC OCAD ADEF,OCEF OC 为半径,EF 是O 的切线()连接BC AB 为O 直径,ADEF,BCAADC DACBAC,ACBADC ADACACAB ACADAB()ACD,OCD,OCA OCOA,OAC 是等边三角形 ACOAOC,AOC 在 RtACD 中,AD AC,由勾股定理,得 DC,阴 影 部 分 的 面 积 SS四边形OCDA S扇形OCA ()()连接OC CD 是O 的切线,OCCD,即OCD又 D,COD,即COB A COD()AB 是O 的直径,CFAB,CF,CE CF 由()知,COB,OCCEsinCOB 弧BC 的长度为()HB 是O 的切
19、线,理由如下:(第题()连接OB HCHB,HCBHBC又 OBOA,OABOBA CDOA,ADC ACDOAB ACDHCB,OBAHBA HBOB(第题()HB 是O 的切线()AFFB,FABAEF又 AFECFA AFECFA AFCFFEFA AFCFFE CF,FE,AF()连接 AO、DO设O 的半径为r在 RtABC 中,由勾股定理得 ACABBC,则O 的半径r (ACBCAB)()(第题()CE、CF 是 O 的 切线,ACB,CFO FCE CEO,CFCE 四边形 CEOF 是正方形 CFOF又 AD、AF 是O 的切线,AFAD AFACCFACOF,即 AD(第题()()在 RtABC 中,AB,AC,BC C,PHAB,CPHA AA,AHPACB PHBC APABACPCAB,即 x y y x即y 与x 的函数关系式是y x()如图(),PH与O 相切 OMHMHDHDO,OMOD,四边形OMHD 是正方形 MHOM由()知,四边形CFOE 是正方形,CFOF,PHPM MHPFFCPC,即xy又由()知,y x,y y,解得y
