1、 翻 折 变 换【题型概述】翻折变换不改变图形的形状和大小,必须指出沿着某条直线去变换,翻折变换实际上是轴对称变换,翻折的直 线 就是对称轴,解题 时 可 运 用 轴 对 称 的 所 有 性 质,比 如:翻 折 前后的图形是 全 等 形、翻 折 的 直 线 是 对 应 点 连 线 段 的 中 垂 线等【典题演示】【例】(辽宁 铁 岭)矩 形 纸 片 ABCD 中,AB,AD,将纸片沿 EF 折叠使点B 与点D 重合,折痕 EF 与BD 相交于点O,则 DF 的长为()A B C D【思路 点 拨】设 DF x,则 BF x,CF x,在RtDFC 中,DF CF DC,即 x (x),解得x,
2、即 DF 的长为【完全解答】C【归纳交流】本题运用翻折的图形是全等形,设出 DF 的长度,得出CF 的长,然后在 RtDFC 中利用勾股定理是解答本题的关键【例】(江 苏 南 京)如 图,在菱形纸片 ABCD 中,A,将纸片折叠,点 A、D 分别落在点 A、D处,且 AD经过点B,EF 为折痕,当 DFCD 时,CFFD的值为()A B C D【思路点拨】首先延长 DC 与AD,交于点 M,由四边形ABCD 是菱形与折叠的性质,易求得BCM 是等腰三角形,DFM 是含 角 的 直 角 三 角 形,然 后 设 CFx,DF DFy,利用正切函数的知识,即可求得答案延长 DC 与AD,交于点 M,
3、在菱形纸片 ABCD 中,A,DCBA,ABCD DA根据折叠的性质,可得ADFD,FDMADF DFCD,DFM,MFDM BCMBCD,CBMBCMM CBMM BCCM设CFx,DFDFy,则 BCCMCDCFDFxy,FMCMCFxy在 RtDFM 中,tanMtanDFFM yxy ,x y CFFDxy 【完全解答】A【归纳交流】此题考查了折叠的性质、菱 形 的 性 质、等 腰三角形的判 定 与 性 质 以 及 直 角 三 角 形 的 性 质此 题 难 度 较大,注意掌握辅助线的作法,注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用【例】(广 东 深 圳)如 图,将 矩 形 ABCD
4、沿 直 线EF 折叠,使点C 与点A 重合,折痕交 AD 于点E,交 BC 于点F,连接 AF、CE()求证:四边形 AFCE 为菱形;()设 AEa,EDb,DCc请写出一个a,b,c三者之间的数量关系式【思路点 拨】()由 矩 形 ABCD 与 折 叠 的 性 质,易 证 得CEF 是等腰三角形,即CECF,即可证得 AFCFCEAE,即可得四边形 AFCE 为菱形;()由折叠的性 质,可 得 CEAEa,在 RtDCE 中,利用勾股定理 即 可 求 得:a,b,c 三 者 之 间 的 数 量 关 系 式 为:abc【完全解答】()证明:四边形 ABCD 是矩形,ADBC AEFEFC由折
5、叠的 性 质,可 得 AEF CEF,AECE,AFCF,EFCCEF CFCE AFCFCEAE 四边形 AFCE 为菱形第四章 图 形 变 换()a,b,c三者之间的数量关系式为:abc理由:由折叠的性质,得CEAE,四边形 ABCD 是矩形,D AEa,EDb,DCc,CEAEa在 RtDCE 中,CECDDE,a,b,c三者之间的数量关系式为:abc【归纳交流】折叠实际是一种对称变换,属 于 轴 对 称折叠前后图形的形状、大小不变,位置变化,证 明 或 计 算 时,抓住折叠中相等的边或相等的角是关键【名题选练】一、选择题(湖北武汉)如图,矩形 ABCD 中,点 E 在边AB 上,将矩形
6、 ABCD 沿直线 DE 折 叠,点 A 恰 好 落 在 边BC 的点F 处若 AE,BF,则CD 的长是()A B C D(第题)(第题)(贵州遵义)如图,矩形 ABCD 中,E 是AD 的 中 点,将ABE 沿BE 折叠后得到GBE,延长BG 交CD 于点F,若CF,FD,则BC 的长为()A B C D(福 建 南 平)如 图,正 方 形 纸 片 ABCD 的 边 长 为,点E、F 分别在边BC、CD 上,将 AB、AD 分 别 沿AE、AF折叠,点B、D 恰好都落在点G 处,已知 BE,则 EF 的长为()A B C D(第题)(第题)(浙 江 舟 山)如 图,已 知 ABC 中,CA
7、B B,AB,点 D 在边BC 上,把ABC 沿AD 翻折使AB 与AC 重合,得ABD,则ABC 与ABD 重叠部分的面积为()A B C D 二、填空题(江苏扬州)如图,将矩形 ABCD 沿CE 折叠,点 B 恰好落在边AD 的F 处,如果ABBC ,那么tanDCF 的值是 (第题)(第题)(浙江台州)如图,将正方形 ABCD 沿BE 对折,使点A 落 在 对 角 线 BD 上 的 A处,连 接 AC,则 BAC 度(黑龙江绥化)长为,宽为a 的矩形纸片(a),如图那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);再把剩下的矩形如图那样折一下,剪下一个边长等 于 此 时 矩
8、 形 宽 度 的 正 方 形(称 为 第 二 次操作);如此反复操作下去,若在第n 次操作后,剩下的矩形为正方形,则操作停止当n时,a的值为 (第题)(河 南)如 图,在 RtABC 中,ACB,B,BC点 D 是 边 BC 上 的 一 动 点(不 与 点 B、C 重合),过点 D 作DEBC 交AB 于点E,将B 沿直线DE翻折,点B 落在射线BC 上的点F 处当AEF 为直角三角形时,BD 的长为 (第题)(第题)(辽宁本溪)如图,矩形 ABCD 中,点 P、Q 分 别 是 边AD 和BC 的中点,沿过点C 的直线折叠矩形ABCD 使点B 落在线段PQ 上的点F 处,折痕交边 AB 于点E
9、,交线段PQ 于点G,若BC 长为,则线段FG 的长为 三、解答题(天津)已知一个矩形纸片 OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点 A(,),点 B(,),点 P 为BC边上的动点(点 P 不与点B、C 重合),经过点 O、P 折叠该纸片,得点B和折痕OP设BPt()()(第题)()如图(),当BOP时,求点 P 的坐标;()如图(),经过点 P 再次折叠纸片,使点 C 落在直线PB上,得点C和折痕PQ,若 AQm,试用含有t的式子表示m;()在()的条件下,当点C恰好落在边OA 上时,求点P的坐标(直接写出结果即可)(海南)如图(),在矩 形 ABCD 中,把 B、D 分别翻折,使点B
10、、D 恰好落在对角线AC 上的点E、F 处,折痕分别为CM、AN,()求证:ADNCBM;()请连接 MF、NE,证明四边形 MFNE 是平行四边形;四边形 MFNE 是菱形吗?请说明理由;()点P、Q 是矩形的边CD、AB 上的两点,连接PQ、CQ、MN,如图()所示,若 PQCQ,PQMN,且 ABcm,BCcm,求 PC 的长度()()(第题)(广东)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB,BC把BCD 沿对角线BD 折叠,使点 C 落在C处,BC交AD 于点G;E、F 分别是CD 和BD 上的点,线段 EF交AD 于 点 H,把 FDE 沿 EF 折 叠,使 点 D 落 在D处,点D恰好
11、与点A 重合()求证:ABGCDG;()求tanABG 的值;()求EF 的长(第题)翻 折 变 换C B B A 或 或 ()根据题意,OBP,OB,在 RtOBP 中,由BOP,BPt,得OPt OPOBBP,即(t)t,解得t,t(舍去)点 P 的坐标为(,)()OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的,OBPOBP,QCPQCP OPBOPB,QPCQPC OPBOPBQPCQPC,OPBQPC BOPOPB,BOPCPQ又 OBPC,OBPPCQ OBPCBPCQ由题意设BPt,AQm,BC,AC,则 PCt,CQm t tm m tt(t)()点 P 的坐标为,()或,(
12、)()由 折 叠 的 性 质 得 出 DAN NAC,BCM ACM,ADBC,DACBCA DANBCM在 RtADN 和 RtCBM 中,ADBC,DB,DANBCM,ADNCBM()连接 NE、MF,ADNCBM,NFME NFEMEF,NFME 四边形 MFNE 是平行四边形 MN 与EF 不垂直,四边形 MFNE 不是菱形()设 AC 与 MN 的交点为O,EFx,作 QGPC 于G点,AB,BC,AC AFCEBC,AFEFAC,即x解得x EF CF在 RtCFN 中,tanDCANFCF BCAB (第题)解得 NF OEOF EF ,在 RtNFO 中,ONOFNF ON M
13、NON PQMN,PNMQ,四边形 MQPN 是平行四边形 MNPQ PQCQ,PQC 是等腰三角形 PGCG在 RtQPG 中,PGPQQG,即 PG,PCPG()BDC由BDC 翻折而成,CC,CDCDAB又 AGBDGC,BAG,ABGADE在ABG 和CDG 中,BADC,ABCD,ABGADC,ABGCDG()由()可知ABGCDG,GDGB AGGBAD设 AGx,则GBx在 RtABG 中,ABAGBG,即x(x),解得x ,tanABGAGAB()AEF 是DEF 翻折而成,EF 垂直平分AD HD AD tanABGtanADE EHHD EF 垂直平分AD,ABAD,HF 是ABD 的中位线 HF AB EFEHHF