1、第六节对数与对数函数考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：loga
2、b(a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫作对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称常用结论1换底公式的两个重要结论(1)l
3、oga b；(2)logambnloga b.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)
4、2(log29)(log34)()A.B.C2 D4D原式4.3.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由图可知0a1，又f(0)loga c0，0c1.4函数f(x)log(x24)的单调递增区间为()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)D由x240得x2或x2，由复合函数的单调性可知，f(x)log(x24)的单调递增区间，即为yx24在x|x2或x2上的单调递减区间，故选D.5若alog4 3，则2a2a_.alog4 3，2a2log4 32log2 ，2a，2a2
5、a.对数的运算1设2a5bm，且2，则m等于()A.B10C20 D100A2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.2化简下列各式：(1)lg lg 70lg 3；(2)log3 log54log2 10(3)7log7 2；(3)(log3 2log9 2)(log4 3log8 3)解(1)原式lg lg 101|lg 31|lg 3.(2)原式log3 log510(3)7log7 2(log3 31)log5(1032)log5 5.(3)原式.规律方法在解决对数的化简与求值问题时，(1)要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对
6、数的换底公式.(2)注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.(3)化异底为同底.对数函数的图象及应用【例1】(1)函数y2log4(1x)的图象大致是()A B CD(2)当x(1,2)时，不等式(x1)2loga x恒成立，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,2)C(1,2 D(1)C(2)C(1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除A，B；函数y2log4(1x)在定义域上单调递减，排除D.故选C.(2)设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2loga x恒成立，只需f1(x)(x1)2在区间(1,2)上的图象在f2(x)
7、loga x的图象的下方即可当0a1时，显然不成立当a1时，如图所示，要使在区间(1,2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)loga x的图象的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga 2，所以loga 21，即1a2.规律方法利用对数函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (1)函数f(x)xa满足f(2)4，那么函数g(x)|loga(x1)|的图象大致为()A B CD(2
8、)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_(1)C(2)(1，)(1)法一：f(2)4，2a4，解得a2，g(x)|log2(x1)|当x0时，函数g(x)单调递增，且g(0)0；当1x0时，函数g(x)单调递减故选C.法二：由f(2)4，即2a4得a2，g(x)|log2(x1)|，函数g(x)是由函数y|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C.(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点对数函数的性质及应用【例2】(1)(2018
9、天津高考)已知alog2 e，bln 2，clog ，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab(2)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，4)B(4,4C(，4)2，)D4,4)(1)D(2)D因为alog2 e1，bln 2(0,1)，clog log2 3log2 e1，所以cab，故选D.(2)由题意可知解得4a4.故所求实数a的取值范围为4,4)规律方法(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断
10、函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题. (1)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)(3)已知偶函数f(x)在(0，)上单调递增，af，bf，cf(log32)，则下列关系式中正确的是()Aabc BacbCcab Dcba(1)A(2)C(3)D(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(1,1
11、)，且f(x)ln ln，易知y1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.(2)由题意得或解得a1或1a0.故选C.(3)log2 log2 3，而0log3 21log2 log2 log2 3.函数f(x)是偶函数，且在(0，)上单调递增，f(log3 2)ff(log2 3)f(log23)f，cba，故选D.1(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0Babab0Cab0ab Dab0abB由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log
12、0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得01.又a0，b0，所以ab0，所以abab0.2(2016全国卷)若ab1,0c1，则()Aacbc BabcbacCalogbcblogac DlogaclogbcCyx，(0,1)在(0，)上是增函数，当ab1,0c1时，acbc，选项A不正确yx，(1,0)在(0，)上是减函数，当ab1,0c1，即1c10时，ac1bc1，即abcbac，选项B不正确ab1，lg alg b0，alg ablg b0，.又0c1，lg c0.，alogbcblogac，选项C正确同理可证logaclogbc，选项D不正确3(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.2由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.