1、 7.2一元二次不等式及其解法A组基础题组 1.(2017浙江稽阳联谊学校联考)已知集合M=x|3+2x-x20,N=x|x1,则MN=()A.(3,+)B.1,3)C.(1,3)D.(-1,+)答案B由题易知,M=x|-1x3,所以MN=1,3),故选B.2.已知集合A=x2x-3-1,B=x|log2x1,则AB=()A.(1,2) B.(0,3) C.(0,1) D.(0,+)答案BA=x|2x-3+x-3x-30=x|1x3,B=x|log2x1=x|0x2,所以AB=(0,3),故选B.3.(2017嘉兴一中月考)设关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x0的
2、解集为x|x12,则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.x|-13x12B.x|x12C.x|-3x2D.x|x2答案C因为不等式ax2-5x+b0的解集为x|x12,ax2-5x+b=0的解是x1=-13,x2=12,且a0,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5.则不等式bx2-5x+a0为-5x2-5x+300,整理得x2+x-60,解得-3x2.5.(2017温州中学月考)等差数列an的公差为d,关于x的不等式dx2+2a1x0的解集为0,9,则使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A.4B.5C.6D.7答案B由题意得,d0,9d+2a1=0a1=
3、-92d,an=a1+(n-1)d=n-112d,令an0,an+1092n112,又nN*,n=5,故选B.6.关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A.52B.72C.154D.152答案A不等式x2-2ax-8a20,a=52,故选A.7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,则()A.c3B.3c6C.69答案C由f(-1)=f(-2),f(-1)=f(-3)得3a-b=7,4a-b=13,解得a=6,b=11.则有f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,由0f(-1)3,得6c9.
4、8.已知函数f(x)=4x2-4mx+m2-2,若关于x的不等式f(f(x)0的解集为空集,则实数m的取值范围是()A.(-,-4+2B.-4+2,+)C.(-,-4-2D.-4-2,+)答案C不等式4x2-4mx+m2-20的解集为xm-22xm+22,所以f(f(x)0m-22f(x)m+22,又f(x)的值域为-2,+),所以要使不等式f(f(x)0的解集为空集,仅需m+22-2,即m-4-2,故选C.9.记方程:x2+a1x+1=0,方程:x2+a2x+2=0,方程:x2+a3x+4=0,其中a1,a2,a3是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时,下列选项中,能推出方程无实根的是()
5、A.方程有实根,且有实根B.方程有实根,且无实根C.方程无实根,且有实根D.方程无实根,且无实根答案B当方程有实根,且无实根时,a124,a228,从而a32=a24a12824=16,则方程:x2+a3x+4=0无实根,选B.同理可判断A、C、D不符合要求.10.若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.(-,-2)C.(-2,2)D.(-2,2答案D当a=2时,-40恒成立;当a2时,a2,4(a-2)2-4(a-2)(-4)0,解得-2a2.故-21,则AB=,(RA)B=.答案x|x-2;x|x3解析由x2-x-60
6、,得-2x3,所以A=x|-2x3,所以AB=x|x-2.易知RA=x|x3,所以(RA)B=x|x3.12.若0a0的解集是.答案x|ax1a解析原不等式可化为(x-a)x-1a0,由0a1得a1a,ax0对任意x(0,+)恒成立,则实数a的取值范围是.答案(0,1)(1,2)解析令logax=t,则tR,问题转化为t2+2at+40对任意实数恒成立,所以=4a2-160,即a24,解得-2a0且a1,所以a(0,1)(1,2).14.(2018温州八校联考)已知函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于xR, f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x1,3, f(x)5-m恒
7、成立,求实数m的取值范围.解析(1)当m=0时, f(x)=-10恒成立,当m0时,m0,=m2+4m0,即-4m0.综上,-4m0,故m的取值范围是(-4,0.(2)不等式f(x)5-m,即(x2-x+1)m0,所以原问题可转化为m6x2-x+1对于x1,3恒成立,所以只需求6x2-x+1的最小值,令g(x)=6x2-x+1,x1,3,令h(x)=x2-x+1,x1,3,则h(x)= x-122+34,易知h(x)在1,3上为增函数,则g(x)在1,3上为减函数,所以g(x)min=g(3)=67,所以m0(a0)的解集为(x1,x2)(x1x20),则不等式cx2-bx+a0的解集为()
8、A.(-x2,-x1)B.-1x2,-1x1C.-,-1x2-1x1,+D.1x1,1x2答案B由题意可知,a0,x1+x2=-ba,x1x2=ca0,则不等式cx2-bx+a0,即x1x2x2+(x1+x2)x+10,解得x-1x2,-1x1,故选B.2.(2017浙江衢州质量检测)已知函数f(x)(xR,且x1)的图象关于点(1,0)对称,当x1时, f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,则不等式f(x)1的解集是()A.-3,32B.(-,-3)32,+C.(-,-1)32,+D.(-,-1)1,32答案D由题易知, f(3)=loga2=-1,所以a=12,当x0等价于x1,
9、log12(x-1)1或x1,解得1x32或x-1,即其解集为(-,-1)1,32,故选D.3.若函数f(x)=x2-1(x0),-1(xf(4x)的x的取值范围是.答案(-2,-2+22)解析在区间0,+)上, f(x)是增函数,f(x)-1,而当xf(4x),则4-x20,4-x24x,解得-2xf(4x)的x的取值范围是(-2,-2+22).4.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时, f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)5的解集是.答案(-7,3)解析 f(x)是偶函数,f(x)=f(|x|).当x0时, f(x)=x2-4x,不等式f(x+2)5f(|x+2|)5|x+2
10、|2-4|x+2|5(|x+2|-5)(|x+2|+1)0|x+2|-50|x+2|5-5x+25-7x3.故原不等式的解集为(-7,3).5.已知b,cR,若关于x的不等式0x2+bx+c4的解集为x1,x2x3,x4(x20,b0.(1)求函数f(x)在0,+)上为减函数的充要条件及不等式ln1+x-1x-x-1xln 2-1的解集;(2)求函数f(x)在0,+)上的最大值.解析(1)f (x)=aax+b-1=a-b-axax+b.因为x0,a0,b0,所以当f (x)0时,a-b0,即ab.反之,当ab时,由x0,a0,b0,得ax+b0,a-b-ax0,即f (x)0.所以f(x)在0,+)上是减函数的充要条件为ab.取a=b=1,得f(x)=ln(x+1)-x.此时, f(x)在0,+)上为减函数.因为ln1+x-1x-x-1xln 2-1,即fx-1xf(1),所以x-1x1,解得1-52xb时,因为f (x)=a-b-axax+b,所以当0x0;当xa-ba时, f (x)b).