1、河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题（含解析）考试时间120分钟一、单项选择题（每题5分，共60分）1.函数在区间上的平均变化率为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】直接利用平均变化率公式进行求值.【详解】因为，所以在区间上的平均变化率为.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知下列四个命题，其中正确的个数有（），（，且），A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.【详解】，所以错误；，所以错误；（，且），所以错误；，所以
2、错误.故选A【点睛】本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.3.设为可导函数，且=，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由导数的定义，求解即可得解.【详解】解：因为，又，所以，故选：C.【点睛】本题考查了导数的定义，属基础题.4.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出导函数的值域，再结合直线的斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】解：由，则，所以所以，即，故选：.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了运算能力，属基础题.5.已知函数的
3、导函数为且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到导函数，代入可求得，从而得到，代入求得结果.【详解】由题意得：令得：，解得： 本题正确选项：【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得，易错点是忽略为常数，导致求导错误.6.已知函数是偶函数，当时，则曲线在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当时，的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为，所以曲线在处切线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，
4、属于基础题.7.已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得m，从而可得结果【详解】函数的导数为，设切点为，则，可得切线的斜率为，所以，解得，故选B【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.8.已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.
5、【答案】D【解析】【分析】由题意知，即对任意的恒成立，求出的最小值即可求出的取值范围.【详解】由题意知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为在上单调递增，所以，则，所以.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立求参数的范围，涉及对勾函数的单调性，属于中档题.9.已知函数满足：，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】是减函数，由得：故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.10.已知函数与图象如图所示，则函数（ ）A. 在区间上是减函
6、数B. 在区间上是减函数C. 在区间上减函数D. 在区间上是减函数【答案】B【解析】分析：求出函数的导数，结合图象求出函数的递增区间即可详解：，由图象得：时， ，故在递增，故选B点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题 11.函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，故函数在和上递增，在上递减，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图像可知，即，故选D.【点睛】本小题
7、主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出函数与的图象,讨论交点个数可求出的取值范围.【详解】作出函数的图象,见下图.若与相切,求导得,设切点为,则,切线斜率为,即切线方程为:,该切线过原点,则,解得,此时,显然与的图象只有一个交点,即方程只有一个实根;若,直线与的图象在时无交点,在时有2个交点,符合题意;若,直线与的图象在时有1个交点,在时有2个交点,不符合题意;若,直线与的图象在时有1个交点,在时无交点
8、,不符合题意;若,直线与的图象至多有一个交点,不符合题意.所以只有符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.二、填空题（每题5分，共20分）13.函数的单调递减区间为_.【答案】和【解析】【分析】先求函数的导函数，再求解的解集，特别要注意函数的定义域，即可得解.【详解】解：由题意有，因为定义域为，当，即时，解得：，所以单调减区间为和，故答案为： 和.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，属基础.14.已知四棱锥的三视图如图所示则四棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】根据三视图判断出四棱锥
9、的结构，根据四棱锥的体积公式计算出体积.【详解】由三视图可知，该四棱锥的高为，底面积为俯视图面积，故四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查三视图，考查锥体体积计算，属于基础题.15.若是函数的极值点，则的值为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案.详解】解：根据题意，得，由题意可知，解得或，当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故答案为：3.【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出
10、的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.16.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】函数在区间上有2个极值点等价于方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，即的图象在轴右边有两个不同的交点，再利用导数研究函数的图像与直线的交点个数即可得解.【详解】解：因为，可得，要使在区间上有2个极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，即的图象在轴右边有两个不同的交点，又，由，得， 即在上递减，由，得，即在上递增，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上
11、有两个极值点，则实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及最值，重点考查了函数与方程的相互转化，属中档题.三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知曲线.(1) 求曲线在处的切线方程；(2) 求曲线过原点的切线方程.【答案】（1）；(2)或.【解析】【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点（0，0），解得切点坐标，进而得到切线方程.【详解】(1)由题意得，所以，可得切线方程为，整理得.(2)令切点为（，），因为切点在函数图像上，所以，所以在该点处的切线为因为切线过原
12、点，所以，解得或，当时，切点为（0,0），切线方程为，当时，切点为，切线方程为y=0,所以切线方程为或y=0.【点睛】本题考查导数的几何意义和“过”、“在”某点处的切线区别，关键是利用某点处的切线的斜率是该点处的导数值，以及切点在曲线上和切线上来解题18.已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）先由题意，得到，对函数求导，推出，即可得出结果；（2）先由（1）得，用导数的方法研究其在上的单调性，得出极值，进而可得出最值.【详解】（1）因为函数的图像在点处的切线方程为，所以，又，；（2）由
13、（1）知，令，解得.当变化时，的变化情况如下表：单调递减单调递增因此，当时，有极小值为，又，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数，以及导数的方法求函数的最值，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性与极值等即可，属于常考题型.19.已知函数(1)若，求的最大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据导数可判断出函数在区间1,e上单调递增，故可得最大值（2）由f(x)0分离参数可得在区间1,e上恒成立，令，根据导数求得函数的最小值后可得所求的范围【详解】(1)当a1时，f(x)xln x，f(x)1 x1
14、，e， f(x)0， f(x)在1，e上为增函数， f(x)maxf(e)e1(2) f(x)0即axln x0对x1，e恒成立， a，x1，e令g(x)，x1，e，则g(x)， x1，e， g(x)0，当且仅当x=e时等号成立， g(x)在1，e上递减， g(x)ming(e)， a实数a的取值范围为【点睛】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.20.已知函数求曲线在点处的切线方程若函数
15、，恰有2个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) x+y-1=0.(2) .【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因，所以. 所以 又 所以曲线在点处的切线方程为 即.（5分）（2）由题意得， 所以. 由，解得， 故当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以. 又，若函数恰有两个零点， 则解得. 所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.21.
16、已知函数，（）若 ，求的值；（）讨论函数的单调性【答案】()a=3；()答案见解析.【解析】【分析】()先求出f(x)的导数f(x)，再根据，即可求得的值；()由题意可知,f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)=0,得x1=1,x2=a1.据此分类讨论函数的单调性即可.【详解】()由题意可得：，故，.()函数，其中a1，f(x)的定义域为(0,+)，令f(x)=0,得x1=1,x2=a1.若a1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+)单调递增.若0a11，即1a2时，由f(x)0得，a1x0得，0x1.故f(x)在(a1,1)单调递减,在(0,a1),(1,+)单调递增.若a11，即a2时
17、，由f(x)0得,1x0得，0xa1.故f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+)单调递增；当1a2时,f(x)在(1,a1)单调递减,在(0,1),(a1,+)单调递增.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若都有，求证：.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究的单调区间，由此求得的最小值.（2）由不等式分离常数，即.构造函数，利用导数求得最大值，分析这个最大值求得的取值范围.【详解】（1），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，.（2）证明：，都有，即，设，令，在上单调递增，存在唯一使得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，即，令，在上单调递增，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
