1、课后限时集训(十六)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1方程x36x29x100的实根个数是( )A3 B2C1 D0C设f(x)x36x29x10，f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.2若存在正数x使2x(xa)1成立，则实数a的取值范围是( )A(，) B(2，)C(0，) D(1，)D2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，实数a的取值范围为(1，)3某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存
2、款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则银行获得最大收益的存款利率为 ( )A3.2% B2.4%C4% D3.6%A设y表示收益，则存款量是kx2，贷款收益为0.048kx2，存款利息为kx3，则y0.048kx2kx3，x(0，0.048)，y0.096kx3kx23kx(0.032x)令y0得x0.032，且当x(0,0.032)时y0，当x(0.032,0.048)时y0，因此收益y在x0.032时取得最大值，故选A.4已知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf(x)f(x)0，则函
3、数g(x)xf(x)1(x0)的零点个数为( )A0 B1C0或1 D无数个A因为g(x)xf(x)1(x0)，g(x)xf(x)f(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g(0)1，yf(x)为R上的连续可导函数，所以g(x)为(0，)上的连续可导函数，g(x)g(0)1，所以g(x)在(0，)上无零点5若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是( )A(，0) B(，4C(0，) D4，)B由题意知a2ln xx对x(0，)恒成立，令g(x)2ln xx，则g(x)1，由g(x)0得x1或x3(舍)，且x(0,1)时，g(x)0，x(1，)时，g(x)0
4、.因此g(x)ming(1)4.所以a4，故选B.二、填空题6已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_(，1当x时，f(x)10，f(x)minf(1)5.当x2,3时，g(x)2xa是增函数，g(x)min4a.由题意知54a，即a1.7若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a_.4或5f(x)6x218x12，令f(x)0得x1或x2，又当x1或x2时，f(x)0，当1x2时，f(x)0.因此x1和x2分别是函数f(x)的极大值点和极小值点由题意知f(1)0或f(2)0，即5a0或4a0.解得a4或a5.8
5、某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元3023 000设该商品的利润为y元，由题意知，yQ(p20)p3150p211 700p166 000，则y3p2300p11 700，令y0得p30或p130(舍)，当p(0,30)时，y0，当p(30，)时，y0，因此当p30时，y有最大值，ymax23 000.三、解答题9已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f
6、(x)不存在零点，求实数a的取值范围解(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)在2,0)上单调递减，在(0,1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex0，当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1a1a0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递减，在(ln(a)，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)
7、aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)10已知函数f(x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)，当a时，x22x2a0，故f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增，当a时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间当a时，令x22x2a0x11，x21，列表x(，1)(1，1)(1，)f(x)f(x)由表可知，当a时，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由条件2ax2ex，对x1成立令
8、g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h(x)2ex，当x1，)时，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上单调递减，h(x)2xex2e0，即g(x)0，g(x)x2ex在1，)上单调递减，g(x)x2exg(1)1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max1e，a，即实数a的取值范围是.B组能力提升1做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A3 B4C6 D5A设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则VR2l27，l，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小由题意，SR22RlR22.S2R，令S0，得R
9、3，则当R3时，S最小故选A.2若0x1x21，则( )Aex2ex1ln x2ln x1Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2C令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即，所以x2ex1x1ex2，故选C.3若函数f(x)1(ae2，因此e2a0.4(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.
