1、学案65二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题自主梳理1二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(ab)nCanCan1b1CankbkCbn (nN*)，这个公式叫做_二项展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式项数：二项展开式中共有_项二项式系数：在二项展开式中各项的系数_(k_)叫做二项式系数通项：在二项展开式中的_叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即通项为展开式的第k1项：Tk1_.2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数_取得最大值；当
2、n为奇数时，中间的两项二项式系数_、_相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数和：CCCC_，CCCC_，CCCC_.自我检测1(2011福建)(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80 B40 C20 D102(2011陕西)(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是()A20 B15 C15 D203(xy)10的展开式中x6y4项的系数是()A840 B840 C210 D2104(2010四川)6的展开式中的第四项是_5(2011山东)若(x)6展开式的常数项为60，则常数a的值为_6(2011烟台期末)已知n为正偶数，且n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是_(用数
3、字作答)探究点一二项展开式及通项公式的应用例1已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项变式迁移1(2010湖北)在(xy)20的展开式中，系数为有理数的项共有_项探究点二二项式系数的性质及其应用例2(1)求证：C2C3CnCn2n1；(2)求SCCC除以9的余数变式迁移2(2011上海卢湾区质量调研)求CCCC的值探究点三求系数最大项例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项变式迁移3(1)在(xy)n的展开式中，若第七项系数最大，则n
4、的值可能等于()A13,14 B14,15C12,13 D11,12,13(2)已知n，()若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；()若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项1二项式系数与项的系数是不同的，如(abx)n (a，bR)的展开式中，第r1项的二项式系数是C，而第r1项的系数为Canrbr.2通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数在运用公式时要注意：Canrbr是第r1项，而不是第r项3在(ab)n的展开式中，令ab1，得CCC2n；令a1，b1，得CCCC0，CCCCC
5、C2n1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”4二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC，CC，CC，CC.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大5二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011山东实验中学模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项 C5项 D6项2(2011
6、重庆)(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于()A6 B7C8 D93(2011黄山期末)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7 B7 C28 D284(2010烟台高三一模)如果n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A7 B7 C21 D215在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A74 B121 C74 D121二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011湖北)(x)18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)7(2011济南高三模拟)已知a(sin tco
7、s t)dt，则6的展开式中的常数项为_8.10的展开式中的常数项是_三、解答题(共38分)9(12分)(1)设(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.求a0a1a2a3a4；求a0a2a4；求a1a2a3a4；(2)求证：32n28n9能被64整除(nN*)10(12分)利用二项式定理证明对一切nN*，都有2n3.11(14分)(2011泰安模拟)已知n (nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项学案65二项式定理自主梳理1(1)二项式定理n1C0,1,2，nCa
8、nkbkCankbk2.(1)等距离(2)(3)2n2n12n1自我检测1B(12x)5的第r1项为Tr1C(2x)r2rCxr，令r2，得x2的系数为22C40.2C设展开式的常数项是第r1项，则Tr1C(4x)r(2x)6r，即Tr1C(1)6r22rx2rx6xC(1)6r23rx6x，3rx6x0恒成立r2，T3C(1)415.选C.3A454解析(x)6展开式的通项为Tr1Cx6r(1)r()rx2rCx63r(1)r()r.令63r0，得r2.故C()260，解得a4.6课堂活动区例1解题导引(1)通项Tr1Canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，而不是第r项；二项式系数与项的
9、系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C，r0,1,2，n，与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致解(1)通项公式为Tr1CrCr，因为第6项为常数项，所以r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)(106)2，所求的系数为C2.(3)根据通项公式，由题意得令k (kZ)，则102
10、r3k，即r5k，rN，k应为偶数k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x2.变式迁移16解析展开式的通项Tr1Cx20r(y)rCx20ryr.由0r20，Z得r0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项例2解题导引(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如CCC，CC，kCnC等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)g(x)0、商式q(x)与余式的关系及余式的范围(1)证明方法一设SC2C3C(n1)CnC，SnC(
11、n1)C(n2)C2CCnC(n1)C(n2)C2CC，得2Sn(CCCCC)n2n.Sn2n1.原式得证方法二CC，kCnC.左边nCnCnCn(CCC)n2n1右边(2)解SCCC2271891(91)91C99C98C9C19(C98C97C)29(C98C97C1)7，显然上式括号内的数是正整数故S被9除的余数为7.变式迁移2解(1x)2nCCxCx2Cx3Cx2n.令x1得CCCC22n；再令x1得CCC(1)rCCC0.两式相加，再用C1，得CCC122n11.例3解题导引(1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项第项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项第项与第项的
12、二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项解(1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)，或2n32，n5.由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C3(3x2)290x6，T4C2(3x2)3270.(2)展开式的通项公式为Tr1C3r假设Tr1项
13、系数最大，则有r，rN，r4.变式迁移3(1)D(1)分三种情况：若仅T7系数最大，则共有13项，n12；若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n11；若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n13，所以n的值可能等于11,12,13，故选D.(2)解()CC2C，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，当n14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.()CCC79，n2n1560.n12或n13(舍去)设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4.
14、k10.展开式中系数最大的项为T11，T1112C410x1016 896x10.课后练习区1C2B(13x)n的展开式中x5的项为C(3x)5C35x5，展开式中含x6的项为C36x6，由两项的系数相等得C35C36，解得n7.3B4.C5.D617解析二项展开式的通项为Tr1Cx18r()r(1)r()rC.令1815，解得r2.含x15的项的系数为(1)2()2C17.784 351解析1010C(1x)10C(1x)9C(1x)8C(1x)7C(1x)6，从第五项C(1x)6起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是CC，CC，CC，CC.故原三项展开式中常数项为CCCCCCCC
15、4 351.9(1)解令x1，得a0a1a2a3a4(31)416.(2分)令x1得，a0a1a2a3a4(31)4256，而由(1)知a0a1a2a3a4(31)416，两式相加，得a0a2a4136.(4分)令x0得a0(01)41，得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(6分)(2)证明32n28n93232n8n999n8n99(81)n8n99(C8nC8n1C8C1)8n9(8分)9(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，显然括号内是正整数，原式能被64整除(12分)10证明因为nCCC2C3Cn11.(4分
16、)所以2n2(6分)2233，(9分)仅当n1时，n2；当n2时，2n3.(11分)故对一切nN*，都有2n3.(12分)11解由题意知，第五项系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(2分)(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(4分)(2)通项公式Tr1C()8rrC(2)r2r，令2r，则r1.故展开式中含的项为T216.(8分)(3)设展开式中的第r项，第r1项，第r2项的系数绝对值分别为C2r1，C2r，C2r1，若第r1项的系数绝对值最大，则解得5r6.(12分)又T6的系数为负，系数最大的项为T71 792x11.由n8知第5项二项式系数最大此时T51 120x6.(14分)
