1、第7讲空间中角与距离的计算考纲要求考点分布考情风向标1能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)2能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用2011 年新课标卷以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012 年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013 年新课标卷以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014 年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的余弦值；2015 年新课标卷考查求直线与直线所成角的余弦值在近年高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局一直以来立体
2、几何解答题都是让广大考生又喜又忧为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明1异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与b那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_(0，902直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于(3)平面的斜线与它在
3、平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90)斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角903二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做_.直二面角4点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高5直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离1若 a(1,2,3)是平面的一个法
4、向量，则下列向量中能作)B为平面的法向量的是(A(0,1,2)C(1，2,3)B(3,6,9)D(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线2若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则 m()A4C8B6D8C3已知平面上的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面)C的一个法向量为(A(1，1,1)C(2,1,1)B(2，1,1)D(1,1，1)解析：显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n(x，y，1 n(2,1,1)4如图 871，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 BC1 与平面 BB1D1D 所
5、成角的正弦值为_图 871考点 1 线面所成角的计算例 1：(2016 年湖南师大附中统测)如图 872，在平行四边形 ABCD 中，AB2AD，BAD60，E 为 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 折起到PDE 的位置，使平面 PDE 平面BCDE(导学号 58940148)(1)证明：CEPD；(2)设 F，M 分别为 PC，DE 的中点，求直线 MF 与平面 PDE 所成的角图 872(1)证明：因为 AB2AD，E 为 AB 的中点，则 AEAD又BAD60，则ADE 为正三角形所以AED60因为 BEBC，CBE120，则CEB30从而CED180AEDCEB90，即 CEDE
6、因为平面 PDE平面 BCDE，平面 PDE平面 BCDEDE，CE平面 BCDE则 CE平面 PDE，所以 CEPD(2)解：方法一，取 PE 中点 G，连接 FG因为 F 为 PC 的中点，则 FGCE所以 FG平面 PDE连接 MG，则FMG 为所求的角在CBE 中，BEBC2，CBE120，则 CE244222cos 12012故直线 MF 与平面 PDE 所成的角为 60方法二，如图 D58，以 E 为原点，直线 EC 为 x 轴，直线ED 为 y 轴，建立空间直角坐标系图 D58由已知，PDE 为正三角形，则 PMED又平面 PDE平面 BCDE，则 PM平面 BCDE【规律方法】
7、求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角【互动探究】1(2014 年福建)在平面四边形 ABCD 中，ABBDCD1，ABBD，CDBD将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD平面 BCD，如图 873(1)求证：AB
8、CD；(2)若 M 为 AD 中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值图 873以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，解：(1)证明：平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面BCDBD，AB平面 ABD，ABBD，AB平面 BCD又 CD平面 BCD，ABCD(2)过点 B 在平面 BCD 内作 BEBD由(1)知，AB平面 BCD，BE平面 BCD，BD平面 BCD，ABBE，ABBD z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图 D62)图 D62(2)已知 EFFBAC考点 2 面面所成角的计算例 2：(2016 年山东)在如图 874 所示的圆台中，AC 是下
9、底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O的直径，FB 是圆台的一条母线(导学号 58940149)(1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；，ABBC，求二面角 FBCA 的余弦值图 874(1)证明：如图 D59设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI，在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF又 EFOB，所以 GIOB在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC图 D59(2)解：方法一，如图 D60，连接 OO，则 OO平面ABC又 ABBC
10、，且 AC 是圆 O 的直径，所以 BOAC以 O 为坐标原点，建立如图 D60 所示的空间直角坐标系Oxyz，图 D60方法二，如图 D61，连接 OO，过点 F 作 FMOB 于点M，图 D61则有 FMOO又 OO平面 ABC所以 FM平面 ABC【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小【互动探究】2(2016年辽宁抚顺一中统测)如图875，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面
11、 ABCD，PD PB，PAPD(1)求证：平面 PCD平面 PAB；(2)设 E 是棱 AB 的中点，PEC90，AB2，求二面角EPCB 的余弦值图 875解：(1)证明：因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，ABAD，所以 AB平面 PAD 又 PD平面 PAD，所以 PDAB又 PDPB，PBABB，所以 PD平面 PAB而 PD平面 PCD，故平面 PCD平面 PAB(2)如图 D63，建立空间直角坐标系，图 D63设 AD2a，则 A(a,0,0)，D(a,0,0)，B(a,2,0)，C(a,2,0)，P(0,0，a)，E(a,1,0)难点突破利用空间向
12、量求空间距离例题：如图 876，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到平面 SBC 的距离图 876解：方法一，如图 877，作 ADBC 交 BC 延长线于 D，连接 SD图 877SA平面 ABC，SABC又 SAADA，BC平面 SAD又 BC平面 SBC，平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD过点 A 作 AHSD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面 SBC于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离方法二，设 A 到平面 SBC 的距离为 h，VSABCVASBC，方法三，如图 878，
13、以 A 为坐标原点，以 AC，AS 所在直线为 y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于 yOz 平面的直线为 x 轴建立空间直角坐标系图 878ABC 中，ABBC2a，ABC120，【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离，即为所求；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方向上的射影长，此射影长即为所求，点P 到平面的距离：d|PMm|m|(其中 m 为平面的法向量，M 为内任一点)1异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角2二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补