1、启慧衡阳市八中 届高三月考试题（三）理科数学参考答案一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题 号答 案【答案】【解析】注意集合中的元素的互异性 【答案】【答案】【解析】，所以 的实部为 ，虚部为 ，的共轭复数为 ，模为（）（），故选 【答案】【解析】中，中，中，的充要条件是 中，可以得到 ，当 时，不一定可以得到 ，【答案】【解析】原式 （）故选 【答案】【解析】数列的前 项和 ，可得 ；当 时，（），对 也成立 所以 （），则数列的前 项和等于 （）故选 【答案】【解析】由题意可知椭圆是焦点在 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到 ，再由过椭圆焦点
2、的弦中通径的长最短，可知当 垂直于 轴时 最小，把 的最小值 代入 ，由 的最大值等于 可求 的值【详解】由 可知，焦点在 轴上，过 的直线 交椭圆于，两点，当 垂直 轴时 最小，值最大，此时 ，解得 ，故选 【答案】【解析】结合三角函数平移原理，得到（）的解析式，计算结果，即可【详解】化简，得到（）（），根据三角函数平移性质可知，当将（）的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变，得到函数解析式为（）（），当把所得图像向上平移 个单位长度，得到（）（），故（），要使得（）（），则要求 ，故选 【答案】【解析】如 为有理数，则（）（），如 为无理数，（）（），故正确；如 为有理数，
3、则 为有理数，则（）（），如 无有理数，则 为无理数，则（）（），故正确；如 为有理数，则 为有理数，则（）（），如 无有理数，则 为无理数，则（）（），故正确，令 ，则（）（），（），此时三角形 为等边三角形，所以正确；故选 考点：函数的奇偶性；函数的周期性；分段函数的表示与求值 【答案】【答案】【解析】法一：由已知得 ，所以 （），即（）结合诱导公式得（）（）因为（，），（，），所以 （，），（，）由诱导公式可得（）（），易知 （）（，），因为 在（，）上单调递减，所以 （），即 法二：由 得 （），所以 （）因为（，），（，），所以 （，）由诱导公式可得（），即（）（）因为 在（，）上单
4、调递增，所以 ，即 【答案】【解析】由题意设（）（），则 （）（）（），所以（）（为常数）（），（）（），（）（）（），（）（），令（），则（），故当 时，（），（）单调递减，当 时，（），（）单调递增 （）（），从而当 ，时，（），（）在区间，上单调递增，设（），则 （）（）（），故（）在（，）上单调递增，在（，）上单调递减，所以（）（），存在，使不等式 成立等价于 （），解得 ，故 的取值范围为，选 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数 （）（），并进一步求得函数（）的解析式，从而得到函数 （）在区间，上的单调性，然后再根据条件中的能成立将原
5、不等式转化为（）（），最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 二、填空题：本大题共 小题，每小题 分【答案】【答案】【解析】依题意椭圆 （）与双曲线 （，）即 （，）的焦点相同，可得：，即 ，可得 ，双曲线的渐近线方程为：【答案】【解析】设 ，在 中，由正弦定理得，【答案】【解析】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点，对称，又由、三点的关系得：点、关于点 对称，而点 就是两个函数的公共对称中心，所以 ，作图可得所求的积分值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【答案】（）由 （，（），（，（）得：（）（，（）（，（）（）（）（）分 不等式（）可化为：（），分
6、即：，不等式的解集为：，分（）由（）知：（）（），（），又 ，分再由正、余弦定理及 得：，（）（），分所以 是正三角形，故 分【解析】（）在正方形 中，是 的中点，又 是 的中点，而正方形 所在平面垂直于矩形 所在的平面，平面 由已知 ，得 ，又 故平面 平面 分（）设三棱锥 的高为，由（）可得，又在 中，故 分【解析】（），所以，线性回归方程为：所以，预计今年的“参与”人数为：（千人）分（）分析可知：在 次独立重复试验中，事件发生的次数为 次，故随机变量 服从二项分布（，），所以（），（）分（）（）由列联表可得：（）（）（）（）（）（）所以没有 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关 分【解
7、析】（）设（，），（，），（，），则 ，又 ，则 ，代入上式，得 ，分由已知：，则 ，从而 ，即 分（）设直线 的方程为：，联立得：（）（），由 ，由韦达定理：，（），分由（），则 ，则（）（）（）（）（）（），即：（）（）（），所以：，得：或 ，分当 时，直线：（），不合题意，当 时，直线：（），过定点（，），分又 ，则 （），为定值 分【解析】（）（）（），设（）（）（），则 （）（），当（，）时，（），（）单调递减，当（，）时，（），（）单调递增，分且（），当（，）时，（）（），当（，）时，取 ，则（）（）（），依据零点存在性定理，知存在唯一的（，），使得（）（），分且 时，（），（）递
8、减，且 时，（），（）递增，故 为函数（）唯一的极小值点 分（）因为（）（）（），所以 （）（），设（）（），则 （）（），则 （）在（，）上为单调递减函数，取 ，则 （）（），取 ，则 （）（）（）（）（），所以，存在唯一的（，），使得 （），即 （），分且当（，）时，（），（）单调递增，当（，）时，（），（）单调递减，故函数（）在 处取得最大值（），分此时，由 （）得 ，（）（），由 两边取对数，得 则 （）（）（）（），由已知，故正整数 的最小值为 分请考生在、两题中任选一题做，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 ：坐标系与参数方程【解析】（）将 代入 ，得 ，直线 的参数方程是 （为参数）分 由（）（）得曲线 的直角坐标方程：（）分（）将直线 的参数方程代入 ，得：()，设、对应的参数分别是，（），由题意知：，分得：（），又 ，（经检验：符合题意 ）分 选修 ：不等式选讲【解析】（）利用分类讨论法解绝对值不等式；（）先求出（）（）（），再求出（）（）解不等式 即得解【详解】（）当 时，（），分当 时，由（）；当 时，由（）不成立；综上所述，当 时，不等式（）的解集为，）分（）记（）（）（）则（），分 （）（）依题意得，所以实数的取值范围为（，分