1、高考资源网() 您身边的高考专家高三数学高高三一轮复习学案自助学习 增强感悟 自我发展 不断提高第2课导数的应用参数范围例1 已知函数(1) 若在处的切线平行于直线,求函数的单调区间;(2) 若,且对时,恒成立,求实数的取值范围.解: (1) 定义域为,直线的斜率为,.所以 由; 由所以函数的单调增区间为,减区间为.(2) ,且对时,恒成立,即.设.当时, ,当时, ,.所以当时,函数在上取到最大值,且所以,所以所以实数的取值范围为.(法二)讨论法,在上是减函数,在上是增函数.当时,解得,.当时,解得,.综上.变式1 已知函数,(其中R,为自然对数的底数).(1)当时,求曲线在处的切线方程;(
2、2)当1时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围.解:(1)当时,,切线方程为(2)方法一1,12)(2-=axxexfxa0xxex122-, 设xxexgx12)(2-=,则2212)1()(xxexxgx+-=, 设,则, 在上为增函数,在上为增函数,方法二,设, 0,0,在上为增函数,.又0恒成立,0,在上为增函数, 此时0恒成立,变式2条件改x0时,0恒成立.解:先证明在上是增函数,再由洛比达法则,1.(正常的讨论进行不了,除非系数调到二次项上,分两种情况讨论可得1)例2.(15年山东理科)设函数,其中.()讨论函数极值点的个数,并说明理由;()若,成立,求的取值范围.解:(),
3、定义域为,设,当时,函数在为增函数,无极值点.当时,若时,函数在为增函数,无极值点.若时,设的两个不相等的实数根,且,且,而,则,所以当单调递增;当单调递减;当单调递增.因此此时函数有两个极值点;当时,但,所以当单调递増;当单调递减.所以函数只有一个极值点。 综上可知当时的无极值点;当时有一个极值点;当时,的有两个极值点.()由()可知当时在单调递增,而,则当时,符合题意;当时,在单调递增,而,则当时,符合题意;当时,所以函数在单调递减,而,则当时,不符合题意;当时,设,当时,在单调递增,因此当时,于是,当时,此时,不符合题意.综上所述,的取值范围是.另解:(),定义域为,当时,函数在为增函数
4、,无极值点.设,当时,根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.若,即时,函数在为增函数,无极值点.若,即或,而当时此时方程在只有一个实数根,此时函数只有一个极值点;当时方程在都有两个不相等的实数根,此时函数有两个极值点;综上可知当时的极值点个数为0;当时的极值点个数为1;当时,的极值点个数为2.()设函数,都有成立.即当时,恒成立;当时,;当时,;由均有成立。故当时,则只需;当时,则需,即.综上可知对于,都有成立,只需即可,故所求的取值范围是.另解:设函数,要使,都有成立,只需函数函数在上单调递增即可,于是只需,成立,当时,令,则;当时;当,令,关于单调递增,则,则,于是.
5、又当时,所以函数在单调递减,而,则当时,不符合题意;当时,设,当时,在单调递增,因此当时,于是,当时,此时,不符合题意.综上所述,的取值范围是. 评析:求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解,通过对参数的讨论来研究函数的单调性,进一步确定参数的取值范围;二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的;三是凭借函数单调性确定参数的取值范围,然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意,即可确定所求.例3已知函数()若曲线在和处的切线互相平行,求的值;()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围试题解析:(1)求导得:又 代入可得; ,解得(), 当
6、时, 在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是 当时,在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是当时, 故的单调递增区间是 当时, 在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是 ()由已知,在上有由已知,由()可知,当时,在上单调递增,故,所以,解得,故 当时,在上单调递增,在上单调递减,故由可知,所以, 综上所述,变式 (分离常数,双参,较难)已知函数,.()若函数依次在处取到极值求的取值范围;若,求的值()若存在实数,使对任意的,不等式 恒成立求正整数的最大值解:(1).(2)不等式 ,即,即.转化为存在实数,使对任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设,则。设,则,因为,有。故在区间上是减函数。又故存在,使得。当时,有,当时,有。从而在区间上递增,在区间上递减。又所以当时,恒有;当时,恒有;故使命题成立的正整数的最大值为5.高考资源网版权所有,侵权必究!