1、上海市七宝中学2020届高三数学三模考试试题（含解析）一.填空题1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，则.故答案为：【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题.2.若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为_【答案】【解析】【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线的一个方向向量为 由直线方程的一个法向量为，所以，令，则 所以直线的一个方向向量为，设直线的倾斜角为，由，所以直线的倾斜角为：.故答案：【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向
2、量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.3.已知复数满足（为虚数单位），则_【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由，得，.故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.4.已知、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令，此时满足，但不成立，故原命题为假命题.故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题.5.函数（，是虚数单位）的图象与直线有且仅
3、有一个交点，则实数_【答案】【解析】【分析】先通过复数模的求法得到函数，再利用数形结合法求解.【详解】函数，函数图象为双曲线的一支，如图所示：又因为函数图象与有且仅有一个交点，则.故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.6.直角坐标系内有点，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后得一圆柱，是圆柱的高，是底面半径，由此可计算体积。【详解】由题意四边形是矩形，边在直线上，旋转一周后所得几何体为圆柱，是圆柱的高，是底面半径，。故答案为：。【点睛】本题
4、考查圆柱的体积，考查圆柱的定义。属于基础题。7.在中，为的中点，则_.【答案】；【解析】【分析】计算，然后将用表示，最后利用数量积公式可得结果.【详解】由，所以又为的中点，所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.8.通过手机验证码登录哈喽单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为_【答案】【解析】【分析】利用概率定义进行求解即可.【详解】，、从中39选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序
5、排，分别对应即可，.故答案为：【点睛】本题考查概率的定义，属于简单题9.已知函数（）的反函数为，当时，函数的最大值为，最小值为，则_【答案】2【解析】【分析】由，得到函数在定义域上单调递增，再由函数与反函数具有相同的单调性以及平移变换，得到在上单调递增，再由函数与反函数具有相同的奇偶性求解.【详解】因为，所以函数（）在定义域上单调递增，因为函数与反函数有相同的单调性，所以在上单调递增，在上单调递增，因为为奇函数，则也为奇函数，.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数与反函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.10.欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联
6、系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为_【答案】【解析】【分析】根据题意，然后可得，然后，利用等差数列求和公式求解即可【详解】，.故答案为：【点睛】本题考查指数的乘积运算以及等差数列的求和，属于简单题11.用表示函数在闭区间上的最大值，若正数满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，根据正弦函数的单调性求出在区间和的最大值，再解不等式即可得到答案.【详解】当时，.所以，舍去；当时，所以，即：，得到；当时，或，因为，所以，即：，所以；当时，不满足，舍去；综上所述：.故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思
7、想，属于难题.12.已知数列的首项为，且满足，则下列命题：是等差数列；是递增数列；设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为_【答案】【解析】【分析】对于，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.【详解】对于，由得：，又，是首项为，公比为的等比数列，错误；对于，由知：，是递增数列，正确；对于，由知：，单调递减，单调递增，当时，即，由零点存在定理知正确；综上所述：正确的命题序号为.故答案为：.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系
8、式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.二.选择题13.设、分别是直线、的方向向量，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：若，则一定有，但可能推出和重合，“”是“”的充分非必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题.14.某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，
9、采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样的概念，先求出与，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.【详解】高一：高二：高三为，该直线方程为，即，圆心到直线的距离，又，该圆的方程为.故选：C【点睛】本题考查分层抽样的概念，属于基础题15.函数的图像按向量平移后所得图像的函数解析式为，当函数为奇函数时，向量可以等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函
10、数到的路线，进而确定向量.【详解】，将函数向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到为奇函数，故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意向量的平移的方向，属于基础题.16.已知为抛物线焦点，、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、有（ ）A. 0个B. 2个C. 有限个，但多于2个D. 无限多个【答案】A【解析】【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.【详解】设，先证，由知，为的重心，又，同理，故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本
11、题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.三.解答题17.如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过线面垂直判定定理证明平面，进而得到；（2）取中点，联结，通过已知条件得出四边形为正方形，得出即为所求角，进而可得结果.【详解】（1）由题意易得：，又平面，平面，又，平面，又平面，（2）取中点，联结，又，底面是正方形，由题意易得为直角三角形，由棱柱的性质以及平面，可得四边形为正方形，由（1）得，,面，即为所求角，且大小为，即直线与平面所成的角为.【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得出
12、线线垂直，直线与平面所成角的求法，属于中档题.18.设、分别是内角、所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角差余弦公式化简可得，即可得到角A的大小；（2）根据面积结合（1）可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形周长.【详解】（1）由题意可得：（2）由又，周长为.【点睛】此题考查根据三角形已知关系求解三角形内角，根据面积关系和余弦定理化简求周长，需要熟练掌握余弦定理和面积公式.19.受疫情影响，某电器厂生产的空调滞销，经研究决定，在已有线下门店销售的基础上，成立线上营销团队，大力发展“网红”经济，当线下销售人数为（人）时，每
13、天线下销售空调可达（百台），当线上销售人数为（人）（）时，每天线上销量达到（百台）.（1）解不等式：，并解释其实际意义；（2）若该工厂大有销售人员（）人，按市场需求，安排人员进行线上或线下销售，问该工厂每天销售空调总台数的最大值是多少百台？【答案】（1）不等式的解集为，实际意义见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）分别讨论当时和当时，解不等式即可得解；（2）结合题中分段函数，分段求解最值取得的条件即可得解.【详解】（1）当时，不等式为；当时，不等式为；综上，不等式解集为，实际意义为在相同的销售人数下，当销售人数在10到40之间时，线上销售的会比线下销售效果好（2）设安排线上销
14、售人，则线下销售安排人；当时，此时，每天的销售总台数为，当时，最大值在时取到，为（百台）当时，最大值在时取到，为（百台）当时，若，则最大值在时取到，为（百台）若，每天的销售总台数为，则最大值在时取到，为（百台）.【点睛】此题考查函数模型及其应用，涉及分段函数最值处理方法，需要熟练掌握分类讨论方法求解.20.已知椭圆的两焦点为，且椭圆上一点，满足，直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且.（1）求椭圆的方程；（2）若，且，求的值；（3）当面积取得最大值，且点在椭圆上时，求的值.【答案】（1）（2）3（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆定义焦点坐标计算基本量即可得解；（2）根据已知条件结合弦
15、长公式求得m，得出三点坐标，利用线段长度公式得解；（3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形面积，根据基本不等式求最值，即可得到此时的值.【详解】（1）由题意可得，椭圆方程为（2）由题意得，此时直线方程为，将其代入椭圆方程整理可得，其中设，则，由椭圆具有对称性，不妨取，则，（3）将直线方程代入椭圆方程整理可得，其中，设，则，原点到直线的距离，当且仅当时等号成立，又代入椭圆方程可得，其中，整理得再将代入，整理得，整理得，.【点睛】此题考查求椭圆方程，利用直线与圆的位置关系，结合韦达定理求解弦长和面积关系，综合性较强.21.已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合
16、，集合中元素最小值记为.（1）对于数列：，求，；（2）求证：；（3）求的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析；（3）416【解析】【分析】(1)根据题目，直接代入求解即可.(2)利用反正法进行证明即可.(3)欲使尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，然后，分类讨论即可进行求解【详解】（1）（2）若，记则，同样操作这三组数据得到，这与，矛盾，则，构造数列：（3）欲使尽可能大，则任意连续三项和要尽量整体控制大，如果放在数列中前后各有2个数，则这里对应含有项的3个连续和，这3个和值显然均大于，同理也去控制项有，这3个和值显然均大于，如果我们保证这6项不重叠，则8个和，就先处理了6个，剩下2个要使得最小值最大，就有如图排列这种排列：，则考虑其中，这一组的和记可以很快得到记，若，则这8个数字都要大于等于448，至多各对应3个数字，对应一个数字，那么这样最多只有7个数字大于等于448，矛盾构造数列：，则.【点睛】本题主要考查反证法的运用，要用到类比推理和归纳推理的数学思想，属于难题