1、第五章 动 态 问 题 点 运 动【题型概述】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问 题 称 为 动态问题此类 问 题 的 显 著 特 点 是 图 形 中 的 某 些 元 素(如 点、线)或整个几何图形按某种规律运动本节研究点的运动点动型就是在三角形、矩形等一些 几 何 图 形 上,设 计 一个或几个动点,并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究【典题演示】【例】(四 川 内 江)已 知 ABC 为 等 边 三 角 形,点 D 为直线BC 上的一 动 点(点 D 不 与B、C 重 合),以 AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F 按逆时针
2、排列),使DAF,连接CF()如图(),当 点 D 在 边BC 上 时,求 证:BDCF;ACCFCD;()如图(),当点 D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论 ACCFCD 是否成立?若不成立,请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;()如图(),当点 D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系()()()【思路点拨】()根据已知得出 AFAD,ABBCAC,BAC DAF ,求 出 BAD CAF,证BADCAF,推出CFBD 即可;()求 出 BAD CAF,根 据 SAS证 BAD CAF,推出BDCF
3、 即可;()画 出 图 形 后,根 据 SAS 证 BAD CAF,推 出CFBD 即可【完全解答】()四边形 AFED 是菱形,AFAD ABC 是等边三角形,ABACBC,BACDAF BACDACDAFDAC,即 BADCAF 在BAD 和CAF 中,ABAC,BADCAF,ADAF,BADCAF CFBD CFCDBDCDBCAC即 BDCF,ACCFCD()ACCFCD 不成立,AC、CF、CD 之间存在的数量关系是ACCFCD理由:由()知,AB ACBC,AD AF,BACDAF,BACDACDAFDAC,即 BADCAF 在BAD 和CAF 中,ACAB,BADCAF,ADAF
4、,BADCAF BDCF CFCDBDCDBCAC,即 ACCFCD()ACCDCF理由:BACDAF,DABCAF 在BAD 和CAF 中,AB AC,DAB CAF,AD AF,BADCAF CFBD CDCFCDBDBCAC,即 ACCDCF【归纳交流】本题是一道单质点的运动问题解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”,也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较,从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手,去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质,从而获得相关结论【例】(贵 州 六 盘 水)如 图(),已 知 ABC 中,ABcm,ACcm,BCcm如果点P 由B
5、 出发沿BA方向向点 A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C匀速运动,它们的速度均为cm/s连接 PQ,设运动的时间为t(单位:s)(t)解答下列问题:()()()当t为何值时,PQBC;()设AQP 面积为S(单位:cm),当t为何值时,S 取得最大值,并求出最大值;()是否存在某时刻t,使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;()如 图(),把 AQP 沿 AP 翻 折,得 到 四 边 形AQPQ那么 是 否 存 在 某 时 刻t,使 四 边 形 AQPQ为 菱 形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由【思路点拨】这是
6、一个动态几何问题,综 合 性 程 度 高,但我们只要仔细观察、冷静思考、多读几遍题目就会找到 解 决问题的突破口,千万不能轻易放弃()由PQBC 时的比例线段关系,列一元一次方程求解;()如解答图()所示,过点 P 作PDAC 于点D,构造比例线段,求得 PD,从而可以得到S 的表达式,然后利用二次函数的极值求得S 的最大值;()要点是利用()中 求 得 的 AQP 的 面 积 表 达 式,再由线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判别式小于,则可以得出结论:不存在这样的某时刻t,使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分;()首先根据菱形的性质及相似三角形比
7、例线 段 关 系,求得 PQ、QD 和PD 的长度;然后在 RtPQD 中,求得时间t的值;最后求 菱 形 的 面 积,值 得 注 意 的 是 菱 形 的 面 积 等 于AQP 面积的倍,从而可以利用()中AQP 面积的表达式,这样可以化简计算【完全解答】ABcm,ACcm,BCcm,由勾股定理的逆定理得ABC 为直角三角形,C为直角()BPt,则 APt PQBC,APABAQAC,即 tt 解得t 当ts时,PQBC()如图()所示,过点 P 作PDAC 于点D PDBC APABPDBC,即tPD()解得 PD tS AQPD t t()tt t(),当t s时,S 取得最大值,最大值为
8、cm()假设存在某时刻t,使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分,则有SAQP SABC,而SABC ACBC,此时SAQP 由()可知,SAQP tt,tt,化简得:tt(),此方程无解,不存在某时刻t,使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分()假 设 存 在 时 刻t,使 四 边 形 AQPQ为 菱 形,则 有AQPQBPt()如图()所示,过点P 作PDAC 于点D,则有PDBC,APABPDBC ADAC,即tPD AD 解得 PD t,AD t QDADAQ ttt在 RtPQD 中,由勾股定理得:QDPDPQ,即 t()t()(t),化简得:tt,解得t,t t,t由()可知,SA
9、QP tt S菱形AQPQSAQP tt()()(cm)所以存在时刻t,使四边形 AQPQ为菱形,此时菱形 的面积为cm【归纳交流】这是一道典型的点运动型问题,解决此类问题时,一是要搞清在单点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,即确定整个单点运动变化过程中图形中的变与不变,二是要运用好相应的几何知 识,三 是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的【名题选练】一、选择题(湖 北 黄 冈)如 图,在 RtABC 中,C,ACBCcm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点 Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒cm 的速度向终点C 运
10、动,将PQC 沿BC 翻折,点 P 的对应点为点P设点 Q 运动的时间为t秒,若四边形 QPCP为菱形,则t的值为()(第题)A BC D二、解答题(江苏盐城)如图()所示,已知 A、B 为直线l上两点,点C 为直线l 上方一动点,连第五章 动 态 问 题接 AC、BC,分 别 以 AC、BC 为 边 向 ABC 外 作 正 方 形CADF 和正方形CBEG,过点 D 作DDl于点D,过点E 作EEl于点E()如图(),当点E 恰好在直线l 上时(此时 E 与 E 重合),试说明 DDAB;()在图()中,当 D、E 两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD、EE、AB 之间的数量关系,并说
11、明理由;()如图(),当点E 在直线l 的下方时,请直接写出三条线段 DD、EE、AB 之间的数量关系(不需要证明)()()()(第题)(湖南常德)已知四边形 ABCD 是正方形,O 为正方形对角线的交点,一 动 点 P 从B 开 始,沿 射 线 BC 运 动,连接DP,作CNDP 于点M,且交直线AB 于点N,连接OP、ON(当 P 在线段BC 上时,如图(),当 P 在BC 的延长线上时,如图()()请从图()、()中 任 选 一 图 证 明 下 面 结 论:BN CP;OPON,且OPON;()设 AB,BPx,试确定以O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系()()(第
12、题)(贵州遵义)如图,ABC 是边长为的等边三角形,P 是边AC 上一动点,由点 A 向点C 运动(与点 A、C 不重合),Q 是CB 延长线上一点,与点 P 同时以相同的速度由点B 向CB 延长线方向运动(点 Q 不与点B 重合),过点P 作PEAB 于E,连接 PQ 交AB 于点D()当BQD时,求 AP 的长;()运动过程中线段 ED 的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED 的长;如果变化请说明理由(第题)(江苏无锡)如图,菱形ABCD 的边长为cm,DAB点 P 从点A 出发,以 cm/s的速度沿 AC 向C 作匀速运动;与此同时,点 Q 也从点A 出发,以cm/s的速度沿射线 AB
13、 作匀速运动当 P 运动到点C 时,P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为ts()当 P 异于A、C 时,请说明 PQBC;()以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,当t为怎样的值时,P 与边BC 分别有个公共点和个公共点?(第题)(江苏苏州)如图,已知半径为的O 与直线l 相切于点A,点 P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点 P 作直线l 的 垂 线,垂 足 为 C,PC 与 O 交 于 点 D,连 接 PA、PB,设 PC 的长为x(x)()当x 时,求弦 PA、PB 的长度;()当x 为何值时,PDCD 的值最大?最大值是多少?(第题)第五章 动 态 问 题 点
14、 运 动B()四边形CADF、CBEG 是正方形,ADCA,DACABC DADCAB DDAB,DDAABC DADADD ADDCAB在ADD 和CAB 中,DDAABC,ADDCAB,ADCA,ADDCAB(AAS)DDAB()ABDDEE过点C 作CH AB 于点 H,DDAB,DDACHA DADADD 四边形CADF 是正方形,ADCA,DAC DADCAH ADDCAH在ADD 和CAH 中,DDACHA,ADDCAH,ADCA,ADDCAH(AAS)DDAH同理:EEBH,ABAHBHDDEE()ABDDEE()如图(),四边形 ABCD 是正方形,OCOB,DCBC,DCBC
15、BA,OCBOBA,DOC,DCAB DPCN,CMDDOC BCNCPD,BCNCNB CPDCNB DCAB,DCNCNBCPD 在DCP 和CBN 中,DCBCBN,CPDBNC,DCBC,DCPCBN CPBN 在OBN 和OCP 中,OBOC,OCPOBN,CPBN,OBNOCP ONOP,BONCOP BONBOPCOPBOP,即 NOPBOC ONOP即 ONOP,ONOP()AB,四边形 ABCD 是正方形,点O 到边BC 的距离是图()中,y SOBN SOBP,(x)x(x),图()中,y SPOB SPBN x (x)x xx(x),即以点O、P、B、N 为顶点的四边形的
16、面积y 与x 的函数关系是:y(x),xx(x)()ABC 是边长为的等边三角形,ACB BQD,QPC设 APx,则 PCx,QBx,QCQBBCx 在 RtQCP 中,BQD,PC QC,即x (x),解得x()当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变(第题)理 由:作 QF AB,交 直 线AB 的 延 长 线 于 点 F,连 接QE、PF,PEAB,DFQAEP 点 P、Q 做匀速运动且速度相同,APBQ ABC 是等边三角形,AABCFBQ在APE 和BQF 中,AFBQ,AEPBFQ,APEBQF AFBQ,APBQ,AEPBFQ APEBQF AEBF,PEQF 且PEQ
17、F 四边形 PEQF 是平行四边形 DE EF EBAEBEBFAB,DE AB又 等边ABC 的边长为,DE 当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会改变()四 边 形 ABCD 是 菱 形,且 菱 形 ABCD 的 边 长 为cm,ABBC,BAC DAB又 DAB,BACBCA(第题()如图(),连 接 BD 交 AC 于 点O 四边形 ABCD 是菱形,ACBD,OA AC OB AB OA,ACOA 运动ts后,AP t,AQt,APAQACAB 又 PAQCAB,PAQCAB APQACB PQBC(第题()()如 图(),P 与BC 切 于 点M,连接 PM,则 PMBC在
18、RtCPM 中,PCM,PM PC t由 PMPQAQt,即 tt,(第题()解得t,此 时 P 与 边BC 有一个公共点;如图(),P 过点B,此时 PQPB,PQB PAQ APQ,PQB 为等边三角形 QBPQAQt t 当 t时,P 与边BC 有个公共点如图(),P 过点C,此时 PCPQ,即 tt,t 当t 时,P 与边BC 有一个公共点,(第题()当点 P 运动到点C,即t 时,P 过 点B,此 时,P 与 边BC有一个公共点,当t 或t 或t 时,P 与 菱 形 ABCD 的边BC 有个公共点;当 t时,P 与边BC 有个公共点()O 与直线l相切于点A,且 AB 为O 的直径,ABl又 PCl,ABPC CPAPAB AB 是O 的直径,APB(第题)又 PCl,PCAAPB PCAAPB PCAPPAAB即 PAPCAB PC ,AB,PA RtAPB 中,AB,PA由勾股定理得:PB()过点O 作OEPD,垂足为E PD 是O 的弦,OEPD,PEED又 CEOECAOAC,四边形OACE 为矩形 CEOA又 PCx,PEEDPCCEx CDPCPDx(x)xxx PDCD(x)(x)xx(x)x,当x时,PDCD 的值最大,最大值是
