1、 旋 转 变 换【题型概述】在平面内,将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度,得到一个新的图形,这样的图形运动 称 为旋转变换,简称旋转这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角,如果图形上的某个点经过旋转到另一个点,那 么 这两个点叫旋转对应点旋转不改变图形的形状和大小,旋转前与旋转后的图形是全等形,旋转是解决全等问题的又一个重要方法旋 转 中任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等【典题演示】【例】()(江 苏 无 锡)如 图(),ABC 中,C将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE,AE 与BC交于点F,则AFB ()()()(广西玉林)如
2、图(),两块相同的三角板完全重合在一起,A,AC,把上面一块绕直角顶点 B 逆时针旋转到ABC的位置,点C在AC 上,AC与AB 相交于点D,则CD 【思路点拨】()因为ADE 是由ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,根 据 旋 转 的 性 质 可 知 CAF;又 因 为C(已知),所以在AFC 中,由三角形内角和定理可得CFACCAF,AFB()由 A,AC,ABC,知 C,BCBC AC,BCC是 等 边 三 角 形,CC ACBCBC,CD BC DC是ABC 的中位线 DC BC 【完全解答】()()【归纳交流】理解旋转这一概念应注意以下两点:旋转和平移一样是图形的一种基本变换;图形旋转
3、的决定因素是旋转中心和旋转的角度本题考查了旋转的性质第()题根据 已 知 条 件“将 ABC 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到ADE”找到旋转角 CAF是解 题 的 关 键;第()题 由学科王独家 侵权必究 http:/ 图 形 变 换已知得出 DC是ABC 的中位线是解题关键【例】(湖南张家界)如图,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫格点三角形,请按要求完成下列操 作:先将格 点 ABC 向 右 平 移 个 单 位 得 到 ABC,再 将ABC 绕点C 旋转得到ABC【思路点拨】将ABC 向右平移个单位后,横坐标变为x,而纵坐标不变,所以点 A、B、C 的坐标可知,确定坐标点连线即
4、可 画 出 图 形,将 ABC 中 的 各 点 A、B、C 旋 转后,得到相 应 的 对 应 点 A、B、C,连 接 各 对 应 点 即 得ABC【完全解答】所作图形如图:【归纳交流】()图形的平移变换关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变,而上下平移时点的横坐标不变()旋转作图有两种情况:给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小;给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对 应 点作图步骤:作出图形的几个关键点旋转后的对应点;顺次连接各点得到旋转后的图形【例】(辽宁铁岭)已知ABC 是等边三角形()将ABC 绕点A 逆时针旋转角(),得到ADE,BD 和EC 所在直线相交于点O如 图(),当时,ABD
5、 与 ACE 是 否 全 等?(填“是”或“否”),BOE 度;当ABC 旋转到如图()所在位置时,求BOE 的度数;()如 图(),在 AB 和 AC 上 分 别 截 取 点 B和C,使AB AB,AC AC,连接 BC,将 ABC绕 点A 逆时针旋转角(),得到ADE,BD 和EC 所在直线相交于点O,请利用图()探索BOE 的度数,直接写出结果,不必说明理由()()()【完全解答】()ADE 是由ABC 绕点A 旋转 得到,ABC 是等边三角形,ABADACAE,BADCAE在ABD 与ACE 中,ABAC,BADCAE,ADAE,ABDACE(SAS),ABDAEC ()又 BAEBA
6、C,在四边形 ABOE 中,BOE由已知得:ABC 和ADE 是全等的等边三角形,ABADACAE ADE 是由ABC 绕点A 旋转 得到的,BADCAE BADCAE ADBAEC ADBABDBAD,AECABOBAD ABOAECBAEBOE,BAEBADDAE,DAEBOE又 DAE,BOE()如图,AB AB,AC AC,ABAB ACAC BCBC ABC 是等边三角形,ABC是等边三角形根据旋转变换的性质可得 ADAE,BADCAE,在ABD 和ACE 中,ABAC,BADCAE,ADAE,ABDACE(SAS)ABDACE BOC(OBCOCB)(OBCACBACE)(OBCA
7、CBABD)(ACBABC)()当时,BOEBOC,当时,BOEBOC【归纳交流】熟知旋转前、后的图形全等是解答本题的关键【名题选练】一、选择题(青 海 西 宁)如 图,E、F 分 别 是 正 方 形 ABCD 的 边BC、CD 上的点,BECF,连接 AE、BF将ABE 绕正方形的对角线交点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 到 BCF,则 旋 转角是()A B C D(第题)(第题)(湖北十堰)如图,O 是正ABC 内一点,OA,OB,OC,将 线 段 BO 以 点B 为 旋 转 中 心 逆 时 针 旋 转得到线段BO,连接 AO下列结论:BOA 可以由BOC 绕点B 逆时针旋转得到;点
8、O 与O的距离为;AOB;S四边形AOBO;S AOC S AOB 其中正确的结论是()ABCD(江苏南通)如图 RtABC 中,ACB,B,AC,且 AC 在直线l 上,将ABC 绕点A 顺时针旋转到,可得到点 P,此时 AP;将位置的三角形绕点 P 顺时针旋转到位置,可得到点 P,此时 AP;将位置的三角形绕点 P 顺时针旋转到位置,可得到点 P,此时 AP;按此规律继续 旋 转,直到点 P为止,则 AP等于()(第题)A B C D(四 川 绵 阳)如 图,P 是 等 腰 直 角 ABC 外 一 点,把BP 绕点B 顺时 针 旋 转 到 BP,已 知 APB,PAPC,则 PAPB 等于
9、()A BC D(第题)(第题)(广东佛山)如图,把一个斜边长为且含有角的直角 三 角 板 ABC 绕 直 角 顶 点 C 顺 时 针 旋 转 到ABC,则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是()AB C D 二、填空题(山东青岛)如图,RtABC 中,ACB,ABC,AC,将ABC 绕点C 逆时针旋转至ABC,使得 点 A恰 好 落 在 AB 上,连 接 BB,则 BB的 长 度 为 (第题)(第题)(贵州六盘水)两块大小一样斜边为且含有角的三角板如图水平放置将CDE 绕C 点按逆时针方向旋转,当点E 恰 好 落 在 AB 上 时,CDE 旋 转 了 度,线段CE 旋转过程中扫过的面积为
10、 (吉林)如图,在等边ABC 中,D 是边AC 上一点,连接BD将BCD 绕 点B 逆 时 针 旋 转 得 到 BAE,连 接 ED若 BC,BD,则 AED 的 周 长 是 (第题)(第题)(黑龙江哈尔滨)如图,平行四边形 ABCD 绕点A 逆时针旋转,得到平行四边形 ABCD(点 B与点B 是对应点,点C与点C 是对应点,点 D与点D 是对应点),点B恰好落在边BC 上,则C 度三、解答题(湖南怀化)如图(),四边形 ABCD 是边长为 的正方形,长方形 AEFG 的 宽AE ,长 EF 将长方形 AEFG 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到 长 方 形AMNH(如图(),这时BD 与
11、 MN 相交于点O()求DOM 的度数;()在图()中,求 D、N 两点间的距离;()若把长方形AMNH 绕点A 再顺时针旋转得到长方形 ARTZ,请问此时点B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上?并说明理由()()(第题)旋 转 变 换D A B B D ()根据题意得:BAM,四边形 AMNH 是矩形,M AKMBAM BKOAKM 四边形 ABCD 是正方形,ABD DOMBKOABD()连接 AN,交BD 于点I,连接 DN,(第题)NH ,AH ,H,tanHANNHAH HAN ANNH由旋转的性质:DAH,DAN DAC,A、C、N 共线 四边形 ABCD 是正方形,BDAC ADCD,DIAI AC ABBC NIANAI在 RtDIN 中,DNDINI()点B 在矩形ARTZ 的外部理由:根据题意得:BAR,R,AR ,AK ARcos AB ,点B 在矩形ARTZ 的外部