1、基础达标检测一、选择题1(文)(2014福州调研)若x0，则x的最小值为()A2 B3C2 D4答案D解析x0，x4.(理)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B.C. D.答案B解析0x0.x(33x)3x(1x)3()2.当x1x，即x时取等号2把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A4 B8C16 D32答案B解析设截成的两段铁丝长分别为x,16x,16x0，则围成的两个正方形面积之和为S()2()28，当且仅当，即x8时，等号成立故两个正方形面积之和的最小值为8.3(文)设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为(
2、)A8 B4C1 D.答案B解析本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用根据题意得3a3b3，ab1，24.当ab时“”成立故选B.(理)下列函数最小值为4的是()Ayx Bysinx(0x)Cy3x43x Dylgx4logx10答案C解析A中没有强调x0不能直接运用基本不等式，故不对B中虽然x(0，)，sinx0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sinx即sinx2矛盾，所以等号取不到，故不对C中3x0，可直接运用基本不等式3x43x24，当且仅当3x，即3x2，xlog32时取等号，故正确D中由于没有给出x的范围，所以lgx不一定大于0，故不对4(2013福建高考)若2x2y1
3、，则xy的取值范围是()A0,2 B2,0C2，) D(，2答案D解析本题考查均值不等式由2x2y2，则即2xy22，xy2.5当x时，f(x)4x的最小值是()A3 B2C5 D7答案D解析x，4x50.f(x)4x(4x5)5257(当x时取等号)6(文)若a0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是()A. B1C4 D8答案C解析由a0，b0，ln(ab)0得.故4.当且仅当ab时上式取“”(理)若ab1，P，Q(lgalgb)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPRQ，即PQb1，lgalgb0.PQ，Q(lgalgb)lglgR，PQ0，a0)在x3时取得最小值，则a_.答
4、案36解析本题主要考查均值不等式等号成立的条件由于x0，a0，f(x)4x4.此时当4x时，f(x)取得最小值4，即a4x2.a43236.8设点(m，n)在直线xy1位于第一象限内的图像上运动，则log2mlog2n的最大值是_答案2解析(m，n)在直线xy1位于第一象限的图像上运动，mn1且m0，n0.mn2，当且仅当mn时等号成立log2mlog2nlog2(mn)log22.log2mlog2n最大值为2.9已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则的最小值是_答案4解析由已知易得x3y1，所以(x3y)2224，当且仅当时取得等号三、解答题10(1)已知x0，求f(x)3x的最小值(
5、2)已知x0，且3x36是常数，故可直接利用基本不等式求值(2)由于x不是常数，故需利用拆、凑项将原函数变为f(x)(x3)3，然后再用基本不等式求解解析(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值为()A. B.C2 D4答案D解析圆的标准方程为(x1)2(y2)24，圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心，2a2b20，即ab1，(ab)11224(等号在ab时成立)2某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为9 000元，年维修费第一年是2
6、000元，以后逐年递增2 000元问这种汽车使用_年时，它的年平均费用最小()A11 B10C9 D8答案B解析设汽车使用n年时，年平均费用为y，则y1213，当且仅当n10时，年平均费用y最小，选B.二、填空题3设x1，y1，且lg(xy)4，则lgxlgy的最大值为_答案4解析x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy()24(当且仅当lgxlgy2，即xy100时取等号)当xy100时，lgxlgy有最大值4.4当a0，a1时，函数f(x)loga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值是_答案2解析A(2,1)，故2mn1.4m2n222.当且仅当4m
7、2n，即2mn，即n，m时取等号4m2n的最小值为2.三、解答题5(文)设a，b均为正实数，求证：ab2.分析两次利用基本不等式时，注意等号能否成立及成立时的条件解析由于a，b均为正实数，所以2.当且仅当，即ab时等号成立又因为ab22.当且仅当ab时等号成立所以abab2，当且仅当即ab时取等号(理)已知a0，b0，ab1.求证：9.分析由不等式左边含字母a，b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因ab1，能否把左边展开，实行“1”的代换解析方法一因为a0，b0，ab1.所以112.同理12.所以52549.所以9(当且仅当ab时等号成立)方法二111，因为
8、a，b为正数，ab1，所以ab2，于是4，8，因此189(当且仅当ab时等号成立)6围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(x0)(单位：元)(1)将总费用y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用解析本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力(1)如图，设矩形的另一边长为am，则y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知xa360，得a，所以y225x360(x0)(2)x0，225x210 800，y225x36010 440.当且仅当225x时，等号成立即当x24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元