1、第2章 第3节一、选择题1(2010重庆理)函数f(x)的图像()A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于x轴对称 D关于y轴对称答案D解析f(x)2x2xf(x)f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称2已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x1对称，并且当x(0,1时，f(x)x21，则f(462)的值为()A2 B0 C1 D1答案B解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)图像关于直线x1对称，f(2x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2(2x)f(2x)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，f(462)f(11542)f(2)，f(2x)f(x)成立，f
2、(2)f(0)，又f(x)是R上奇函数，f(0)0，f(462)0.故选B.3已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0答案D解析x10，|x1|x2|，0x1x2又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.选D.4(2009辽宁理)已知偶函数f(x)在区间0，)单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范围是()A. B.C. D.答案A解析考查偶函数的性质及含绝对值号不等式的解法由题意得|2x1|2x12xx，
3、选A.5(2010山东理)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3答案D解析f(x)是奇函数，f(0)0，即020b，b1，故f(1)2213，f(1)f(1)3.6设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)1，f(2)，则()Aa且a1 B1a0Ca0 D1a1.又函数f(x)的周期为3，所以f(2)f(1)，1，a0.7已知定义在R上的奇函数f(x)是一个减函数，且x1x20，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0 B小于0C等于0 D以上都有可能答案A解析由x1x20，得x
4、1x2.又f(x)为减函数，f(x1)f(x2)，又f(x)为R上的奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.8若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)0时，f(x)x，且当x3，1时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值是_分析该题综合考查了函数的性质(单调性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力答案1解析因为函数f(x)x
5、在(0,2)上为减函数，在2，)上为增函数，则当x1,3时，4f(x)5.又函数yf(x)为偶函数，故当x3，1时，4f(x)5，则mn的最小值是1.11(2010重庆理)已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2010)_.答案解析令y1得4f(x)f(1)f(x1)f(x1)即f(x)f(x1)f(x1)令x取x1则f(x1)f(x2)f(x)由得f(x)f(x2)f(x)f(x1)即f(x1)f(x2)f(x)f(x3)，f(x3)f(x6)f(x)f(x6)即f(x)周期为6，f(2010)f(63350)f(0)对4f(x)f(y)f
6、(xy)f(xy)，令x1，y0，得4f(1)f(0)2f(1)，f(0)，即f(2010).三、解答题12已知函数f(x)(a，b，cZ)是奇函数，又f(1)2，f(2)3，求a，b，c的值解析由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，c0.又f(1)2，得a12b，而f(2)3，得3，解得1a0时，f(x)0，并且f(1)，试求f(x)在区间2,6上的最值解析(1)证明：函数定义域为R，在f(xy)f(x)f(y)中令yx得，f(0)f(x)f(x)令x0，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)解：设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.即
7、f(x)在R上单调递减从而f(x)在2,6上为减函数f(2)为最大值，f(6)为最小值f(1)，f(2)f(1)f(1)1，f(2)f(2)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所以f(x)在区间2,6上的最大值为1，最小值为3.14(2011广东联考)已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围解析(1)当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0.f(
8、1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)方法一：要使函数f(x)在x2，)上为增函数等价于f(x)2x0在x2，)上恒成立，即a2x3在x2，)上恒成立，a(2x3)min16.a的取值范围是(，16方法二：设2x1x2，f(x1)f(x2)x12x22x1x2(x1x2)a要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必有f(x1)f(x2)0恒成立x1x20，即a4，x1x24，x1x2(x1x2)16. a的取值范围是(，1615设函数f(x)是定义在1,0)(0,1上的奇函数，当x1,0)时，f(x)2ax(aR)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若a1，试
9、判断f(x)在(0,1上的单调性；(3)是否存在实数a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值6. 解析(1)设x(0,1，则x1,0)，f(x)2ax f(x)是奇函数，f(x)f(x)当x(0,1时，f(x)2ax，f(x).(2)当x(0,1时，f(x)2a2，a1，x(0,1，a0. 即f(x)0.f(x)在(0,1上是单调递增函数(3)当a1时，f(x)在(0,1上单调递增f(x)maxf(1)2a16，a(不合题意，舍去)，当a1时，由f(x)0得，x. 如下表可知fmax(x)f6，解得a2. xf(x)0f(x)极大值此时x(0,1) 存在a2，使f(x)在(0,1上有最大值6.