1、第五章质量评估(A)(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.2 100的弧度数是()A.353B.10C.283D.253答案:A2.若函数f(x)=2sin x+cos x在区间0,上是增函数,则当取最大值时,sin 的值等于()A.55 B.255 C.-255 D.-55答案:B3.计算sin 45cos 15+cos 225sin 165的结果为()A.1 B.12 C.32 D.-12答案:B4.函数f(x)=sin 2x-2cos2x+1的最小正周期为()A. B.2 C.3 D.4答案:A
2、5.若sin x=3sinx-2,则sin xcos(+x)的值为()A.310 B.-310 C.34 D.-34答案:A6.已知m=2sin 18.若m2+n=4,则2sin263-1mn的值为()A.4 B.12 C.18 D.2答案:B7.在平面直角坐标系Oxy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称.若sin =13,则cos(-)的值为()A.-1 B.-79 C.79 D.1答案:C8.若将函数y=cos 2x的图象向右平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=12k-6,kZB.x=12k+6,kZC.x=12k-12,kZD.x=12k+12,kZ答案:D
3、二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若cos x=tan x,则()A.sin(+x)=-1+52 B.sin(+x)=1-52 C.sin(-x)=-1+52 D.sin(-x)=1-52答案:BC10.若将函数g(x)=4cos2x2+6-2的图象向右平移2个单位长度,再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间712,54上单调递增C.函数f(x)在区间23,54上的最小值为-3D
4、.x=3是函数f(x)的一条对称轴答案:ABD11.若sin cos 0,则的终边可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:BD12.若函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+)在区间0,4上的单调性相同,则的一个值为()A.56B.4C.23D.32答案:AC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若扇形的弧长为2m,圆心角为4rad,则此扇形的半径是2 m.14.tan 11+tan 49+3tan 11tan 49=3.15.已知函数f(x)=sin xtan x.给出下列结论:函数f(x)是偶函数; 2是函数f(x)的周期;函数f(x)在区间0,
5、2上是减函数;函数f(x)的图象关于直线x=对称.其中正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).16.3sin220-1cos220+64sin220=32.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(1)已知2,sin =13,求tan 的值;(2)已知sin3-=a,求sin23+-cos56-的值.解:(1)因为sin =13,且20,0,|).(1)求函数y=f(t)的表达式;(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启,何时关闭.解:(1)由图知,T=2(14-2)=24,所以2=24,得=12.由图知,b=16
6、+322=24,A=32-162=8,所以f(t)=8sin12t+24.将点(2,16)代入函数解析式得24+8sin122+=16,得6+=2k-2(kZ),即=2k-23(kZ).又|28,可得sin12t-2312,所以2k+612t-232k+56(kZ),解得24k+10t24k+18(kZ),令k=0得10t0,0,00,所以=1.因为-3+=2k,kZ,02,所以=3.所以f(x)=2sinx+3.(2)由题意可得f(x)=2sinx+3向左平移6个单位长度后得h(x)=2cos x,横坐标再缩短到原来的12后得g(x)=2cos 2x,故y=g(x)+2sin 2x=2cos
7、 2x+2sin 2x=22sin2x+4.令2+2k2x+432+2k,得8+kx58+k.所以y=g(x)+2sin 2x的单调递减区间为8+k,58+k,kZ.21.(12分)已知函数f(x)=sin2x2+3sinx2cos+x2.(1)求函数f(x)在区间-3,2的值域;(2)若0x2,f(x)=-110,求sin2x+3的值.解:(1)f(x)=sin2x2-3sinx2cosx2=12-12cos x-32sin x=-sinx+6+12,当x-3,2时,x+6-6,23,所以sinx+6-12,1,所以-sinx+6-1,12,所以f(x)-12,1.(2)f(x)=-sinx
8、+6+12=-110sinx+6=35.因为x0,2,所以x+66,23.因为350)具有性质T,求的最小值.解:(1)函数f1(x)不具有性质T,函数f2(x)具有性质T.理由如下:假设函数f1(x)具有性质T,即存在正数T,使得2(x+T)-1=T(2x-1)恒成立.则(2T-2)x=3T-1对于任意的xR恒成立.所以2T-2=0,3T-1=0.此方程组无解,与存在正数T矛盾.所以函数f1(x)不具有性质T. 取T=10,则f2(x+1)=cos2(x+1)+1=cos(2x+1)=f2(x),即f2(x+T)=Tf2(x)对于任意的xR恒成立.所以函数f2(x)具有性质T. (2)因为函数f(x)=sin(x+)(0)具有性质T,所以存在正数T,使得对于任意的xR,都有sin(x+T)+=Tsin(x+)恒成立.令t=x+,则sin(t+T)=Tsin t对于任意的tR恒成立.若T1,取t=2,则sin2+T=T1,矛盾; 若0T1,矛盾; 所以 T=1.则当且仅当=2k,kZ时,sin(t+)=sin t对于任意的tR恒成立.因为0,所以 2.所以当=2 时,函数f(x)=sin(2x+)具有性质T.所以的最小值是2 .
