1、67数学归纳法一、选择题1用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D102设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)34一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去则第n个图共挖
2、去小正方形()A(8n1)个 B(8n1)个C. (8n1)个 D.(8n1)个5已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a、b、c答案：1.B 2.D 3. A 4.C 5.A二、填空题6用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_7设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)_，f(n)_(n1，nN*)8如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1、A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC
3、、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为_答案：6.2k 7.4n2n2 8.(3n2n)三、解答题9将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解析：由题意知，当n1时，S111
4、4；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立 (2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立10已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x时，f(x).(1)求a的
5、值；(2)设0a1，an1f(an)，nN*，证明：an.解析： (1)由题意，知f(x)axx2.又f(x)max，所以f.所以a21.又x时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明：用数学归纳法证明当n1时，0a1，显然结论成立因为f(x)，当x时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式0ak成立因为f(x)axx2的对称轴为直线x，所以当x时，f(x)为增函数所以由0ak，得0f(ak)f.于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立根据，知对任何nN*，不等式an成立11已知函数f(x)xxln x，数列an满足0a11， an1f(an)，nN*.证明：对任意nN*，不等式0an0，故f(x)在x(0，1)时为单调递增函数下面用数学归纳法证明：对任意nN*，不等式0an1都成立当n1时，已知0a11，不等式成立；又当n2时，由a1ln a1a10，且有a2f(a1)a1a1ln a1f(1)1，即0a21，不等式也成立假设当nk(kN*)时，有0akak11成立，则当nk1时，由f(x)在x(0，1)时为单调递增函数，且0a1akak11，得f(ak)f(ak1)f(1)，即ak1ak20，所以有0ak1ak21，不等式也成立综合、知，对任意nN*，不等式0an1都成立