1、 新定义运算【题型概述】新定义运算类问题是通过文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念,学生只有理解其内容,把握其本质,才可能会正确解答试题中的问题解答问题时,要善于挖掘定 义 的内涵和本质,并能够用旧知识对新定义进行合理解释,进 而将陌生转化为熟悉的知识去理解和解答【典题演示】【例】(上海)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为 【思路点拨】设等边三角形的中线长为a,则其重心到对边的距离为 a由它们的一边重合时(如 图(),重 心 距 为,得 a,解得a当它们的一对角成对顶
2、角时(如图(),中心距 a()()【完全解答】【归纳交流】先设等边三角形的中线长为a,再根据三角形重心的性质求出a 的值,进而可得出结论本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质,即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为【例】(湖南张家界)阅读材料:对于任何实数,我们 规 定 符 号 a bc d的 意 义 是 a bc dad bc例 如:,()()按照这个规定,请你计算 的值;()按照 这 个 规 定,请 你 计 算:当 x x 时,x xx x的值【思路点拨】本题的阅读材料取材于高等数学中的“行列式”,取材虽新,但解答过程并不难,主要考查即学即用能力由定义,“”实质上表
3、示的是一种积差运算【完全解答】();()由xx,得(x),得 x x xx x 【归纳交流】这是一道定义新法则的阅读理解题记号叫什么与怎样解的 关 系 不 大,把 陌 生 的 符 号“”转 化 为 熟悉的四则运算才是关键【名题选练】一、选择题(湖北随州)定义:平面内的直线l 与l 相交于点O,对于该平面内任意一点 M,点 M 到直线l,l 的距离分别为a,b,则称有序非实数对(a,b)是点 M 的“距离坐标”,根据上述定义,距离坐标为(,)的点的个数是()A B C D(四川宜宾)给出定义:设 一 条 直 线 与 一 条 抛 物 线 只有一个公共点,且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行,就称直
4、线与 抛 物 线 相 切,这 条 直 线 是 抛 物 线 的 切 线有下列命题:直线y是抛物线y x 的切线;直线x与抛物线y x 相切于点(,);直线yxb与抛物线y x 相切,则相切于点(,);若直线ykx与抛物线y x 相切,则实数k 其中正确命题的是()ABCD(贵州六盘水)定义:f(a,b)(b,a),g(m,n)(m,n)例 如 f(,)(,),g(,)(,)则gf(,)等于()A(,)B(,)C(,)D(,)(浙江嘉兴)定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的 三 位 数 叫 做“V 数”,如“”就 是 一 个“V 数”若十位上的数字为,则从,中任选两数,能与组成“V
5、 数”的概率是()A B C D二、填空题(湖北荆门)新定义:a,b为一次函数yaxb(a,a,b为实数)的“关联数”若“关联数”,m的一次函数是正比例函数,则 关 于 x 的 方 程x m 的 解为 (山东菏泽)将个数a,b,c,d 排成行、列,两边各加一条竖 直 线 记 成 a bc d,定 义 a bc dadbc,上述记号就叫做 阶 行 列 式若 x xx x,则 x (湖南株洲)若(x,y)(x,y)xxyy,则(,)(,)(浙江台州)请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a b”,使得下列算式成立:,第三章 开放探究与新定义运算()()()(),()(),你规定的新运算a b
6、 (用a,b的一个代数式表示)三、解答题(贵州铜仁)如图,定义:在直角三角形 ABC 中,锐角的邻边与对边的比叫做角 的余切,记作cot,即cot角的邻边角 的对边ACBC,根据上述角的余切定义,解下列问题:()cot ;()如图,已知tanA ,其中A 为锐角,试求cotA 的值(第题)(湖北孝感)我们把依次连 接 任 意 一 个 四 边 形 各 边中点得到的四边形叫做中点四边形如图,在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的 中 点,依 次 连 接 各 边 中 点 得 到 中 点 四 边 形EFGH()这个中点四边形EFGH 的形状是 ;()请证明你的结论(
7、第题)(江 苏 无 锡)对 于 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 两 点P(x,y),P(x,y),我们把|xx|yy|叫做 P、P 两点间的直角距离,记作d(P,P)()已知O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足d(O,P),请写出x 与y 之 间 满 足 的 关 系 式,并 在 所 给 的 直 角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形;()设 P(x,y)是一定点,Q(x,y)是直线yaxb上的动点,我们 把 d(P,Q)的 最 小 值 叫 做 P 到 直 线yaxb的直角距 离试 求 点 M(,)到 直 线 yx的直角距离(第题)(福 建 厦 门)如 图,在 平 面 直
8、 角 坐 标 系 中,已 知 点A(,)、B(,),连 接 AB如 果 点 P 在 直 线yx上,且点 P 到直线AB 的距离小于,那么称点P 是线段AB 的“临近点”()判断点C ,()是否是线段 AB 的“临近点”,并说明理由;()若点 Q(m,n)是线段 AB 的“临近点”,求 m 的取值范围(第题)(江苏 常 州)平 面 上 有 两 条 直 线 AB、CD 相 交 于 点O,且BOD(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:()点O 的“距离坐标”为(,);()在直线CD 上,且到直线 AB 的距离为p(p)的点的“距离坐标”为(p,);在直线 AB 上,且到直线 CD的距离
9、为q(q)的点的“距离坐标”为(,q);()到直线 AB、CD 的距离分别为p,q(p,q)的点的“距离坐标”为(p,q)设 M 为此平面上的点,其“距离坐 标”为(m,n),根 据 上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:()画出图形(保留画图痕迹):满足 m,且n的点 M 的集合;满足 mn的点 M 的集合;()若点 M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上,求m 与n 所满足的关系式(说明:图中 OI 长为一个单位长)(第题)(备用图)新定义运算C B A Cx abab()()tanABCAC ,cotAACBC ()平行四边形()连接 AC E 是AB 的中点,F 是BC 的
10、中点,EFAC,EF AC同理 HGAC,HG AC(第题)综 上 可 得:EF HG,EF HG故四边 形 EFGH 是 平 行 四 边形()由题意,得|x|y|所有符 合 条 件 的 点 P 组 成 的图形如图所示()d(M,Q)|x|y|x|x|x|x|x 可取一切实数,|x|x|表示数轴上实数x 所对应的点到数和所对应的点的距离之和,其最小值为 点 M(,)到直线yx的直角距离为()点C,()是线段 AB 的“临近点”理由是:点P 到直线AB 的距离小于,A、B 的纵坐标都是,ABx 轴,当纵坐标y 在y范围内时,点 P 是线段AB的“临近点”点C 的坐标是,(),y ,大于且小于,点C,()是线段 AB 的“临近点”()由()知:线段 AB 的“临近点”的纵坐标的范围是y,把y代入yx,得x,把y代入yx,得x,x 点Q(m,n)是线段 AB 的“临近点”,m 的取值范围是m()如图()所示:点 M 和 M 为所求;(第题()如图()所示:(第题()直线 MN 和直线EF(O 除外)为所求()如图(),过点 M 作 MNAB 于点N(第题()M 的“距离坐标”为(m,n),OMn,MNm BOD,直线lCD,MON在 RtMON 中,sinMNOM mn,即 m 与n 所满足的关系式是m n