1、七校联考 数学试卷(理科)满分150分 考试时间120分钟一、填空题(本大题每题4分,满分56分)1. 平面直角坐标系中,为坐标原点,则 .2. 复数的虚部为 .3. 函数的最小正周期为 .4. 直线关于直线对称的直线方程为 .5. 定义集合运算:.设,则集合的所有元素之和为 . 6. 从集合中任取两数,其乘积不小于10的概率为 .7. 若实数满足,且,则的值为 .8. 若对于任意实数,都有,则的值为 .9. 设等差数列的公差为,前项和为,则 .10. 函数的值域为 .11. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的标准方程为 . 12. 已知是球表面上的点,平面,则球的表面积为 .13. 如果一个正
2、四位数的千位数、百位数、十位数和个位数满足关系,则称其为“彩虹四位数”,例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么,正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .(直接用数字作答)14. 某校数学课外小组在坐标纸上,为一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,表示非负实数的整数部分,例如,.按此方案,在第2012棵树的种植点坐标应为 .二、选择题(本大题每题5分,满分20分)15. “成立”是“成立”的( )A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件16. 已知向量、满足,与的夹角为,则等于( )A B C D17. 函数为定义在上的偶函数,且当时,则下
3、列写法正确的是( )A. B. C. D. 18. 椭圆上有个不同的点,是右焦点,组成公差的等差数列,则的最大值为( )A B C D三、解答题(本大题满分74分)19. (本题满分12分,第1小题5分,第2小题7分)在中,.(1)求角的大小;(2)如果的最大边长为,求最小的边长.20. (本题满分12分,第1小题5分,第2小题7分)如图所示,在长方体中,为棱上一点.(1) 若,求异面直线和所成角的正切值;(2) 是否存在这样的点使得平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.21. (本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)设数列的前项和为,已知,.(1) 设,求数列的通项公式;(2)
4、 若对于一切,都有恒成立,求的取值范围.22. (本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若函数定义域为,满足对任意,有,则称为“形函数”;若函数定义域为,恒大于0,且对任意,有,则称为“对数形函数”(1)当时,判断是否为形函数,并说明理由;(2)当时,证明:是对数形函数;(3)若是形函数,且满足对任意,有,问是否为对数形函数?证明你的结论23. (本题满分18分,第1小题4分,第2小题7分,第3小题7分)设是以为焦点的抛物线,是以直线与为渐近线,以为一个焦点的双曲线(1)求双曲线的标准方程;(2)若与在第一象限内有两个公共点和,求的取值范围,并求的最大值;(3)若的面积满足,求的值