1、课后限时自测(见学生用书第235页)A组基础训练一、选择题1(2013北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|【解析】A项，y是奇函数，故不正确；B项，yex为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且yx21在(0，)上是减函数，ylg|x|在(0，)上是增函数，故选C.【答案】C2(2014合肥高三质量检测)函数ylog2的图象()A关于原点对称 B关于直线yx对称C关于y轴对称 D关于直线yx对称【解析】由0得1x1，即函数定义域为(1,1)，又f(x)log2log2f(x)，函数ylog2为奇函数，故
2、选A.【答案】A3(2013合肥高三第一次质检)已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x13，则f(f(1)()A1 B1 C2 D2【解析】由x0，所以f(x)2x13，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)2x13，即f(x)2x13，所以f(f(1)f(2)1.选A.【答案】A4(2014烟台模拟)设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()Ax|1x1Bx|x1，或0x1Cx|x1Dx|1x0，或0x1【解析】奇函数f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，xf(x)0，又f(1)
3、0，f(1)0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0x1，选D.【答案】D5(2013重庆高考)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5 B1 C3 D 4【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数不妨令lg(log210)x，则lg(lg 2)x，而f(x)f(x)(ax3bsin x4)a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853，故选C.【答案】C二、填空题6函数f(x)为奇函数，则a_.
4、【解析】由题意知，g(x)(x1)(xa)为偶函数，a1.【答案】17(2013合肥四校高三联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意xR都有f(x)f(x4)，当x(2,0)时，f(x)2x，则f(2 013)_.【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数可知，f(1)f(1)21，由f(x)f(x4)可知，函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 013)f(50341)f(1).【答案】8(2014福建厦门一模)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x1是函数f(x)的一条对称轴；f(x2)f(x)；当1x1x23时，f(x2)f(x1)(x2x1)f(2)f(3)，即f
5、(2 013)f(2 012)f(2 011)【答案】f(2 013)f(2 012)f(2 011)三、解答题9已知函数f(x)2|x2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，g(x)f(x)，求g(x)的解析式【解】(1)f(x)要使函数f(x)有最小值，需2a2，即当a2,2时，f(x)有最小值(2)g(x)为定义在R上的奇函数，g(0)g(0)，g(0)0.设x0，则x0.g(x)g(x)(a2)x4g(x)10(2014济南模拟)已知函数yf(x)在定义域1,1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意x1，x21,1，有f(
6、x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求函数a的取值范围【解】(1)证明若x1x20，显然不等式成立若x1x20，则1x1f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0，则1x1x21，同理可证f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)(x1x2)0成立综上得证，对任意x1，x21,1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0恒成立(2)f(1a)f(1a2)0f(1a2)f(1a)f(a1)，由f(x)在定义域1,1上是减函数得即解得0a0且a1)，下面给出五个命题，其中真命题的是_(只需写出所有真命题的编号)函数f(x)的图象关于原
7、点对称；函数f(x)在R上不具有单调性；函数f(|x|)的图象关于y轴对称；当0a1时，函数f(|x|)的最大值是0.【解析】易知函数为奇函数，故正确；由于ax与ax单调性相同，故由复合函数的单调性可知，原函数具有单调性，故错误；易知该函数为偶函数，故正确；当0a1，x0时，f(|x|)axax单调递增，故f(|x|)的最小值为f(|0|)0，由偶函数图象知f(|x|)的最小值为0，故错误故真命题的编号为.【答案】3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围【解】(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1