1、福建省福州市福建师大附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，而，易得是的子集，分析选项可得答案【详解】，故选B.【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用图表示集合的关系，判断出、的关系，是解题的关键2.设偶函数定义域为，当时，为增函数，则的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于为偶函数且当时，为增函数，故将全部利用偶函数性质转换到上再用单调性进行求解。【
2、详解】因为为偶函数，故，又因为当时，为增函数，故，故，故选D。【点睛】根据奇偶性与单调性求解函数大小关系时，可以将自变量的值转换到同一单调区间上进行分析。3.设全集为R，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、，再利用补集和交集的定义可得出集合.【详解】由，.由，得或，则，因此，故选：B.【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数不等式以及函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.4.下列四组中，与表示同一函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】A项对应关系不同；B项定义域不同；C项定义域不同，初步判定选D【详解】
3、对A，与对应关系不同，故A错对B，中，定义域，与定义域不同，故B错对C，中，定义域，与定义域不同，故C错对D，当时，当时，故，D正确故选：D【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样）5.函数图象的大致形状是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】先由函数奇偶性，排除BD；再由函数值的大致范围，即可确定结果.【详解】因为，所以，所以是偶函数，排除BD；又当时，所以，当时，所以，故排除D，选C.故答案为C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.6.函数取得最小值时的值为()A. B. C. D
4、. 【答案】B【解析】【分析】将函数边形为利用双勾函数得到答案.【详解】设 根据双勾函数性质在上单调递增. 当即时取最小值.故答案选B【点睛】本题考查了双勾函数性质，属于常考题型.7.已知幂函数的图象过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，然后再计算出的值.【详解】设，由题意可的，即，则，所以，因此，故选：B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（
5、其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的（ ）倍A. 10B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出的值，可得出答案。【详解】由题意可得，即，两式相减得，所以，因此，是的倍，故选：A.【点睛】本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题。9.已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性可得，构造方程组求得解析式，代入即
6、可求得结果.【详解】分别为上的偶函数和奇函数又 本题正确选项：【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到构造函数法求解函数解析式、函数奇偶性的应用等知识.10.若函数且）在区间（0,2）上为减函数，则实数的取值范围为（）A. 01B. 12C. 12D. 1【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】注意到为定义域上的的减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，根据对数函数的定义域有，解得.故选C.【点睛】本小题主要考查已知对数型复合函数单调性求参数，考查对数函数的定义域，属于中档题.11.某地一天内的气温（单位：）与时刻（单位：
7、）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则与之间的函数图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析函数图像的特征，可得函数过原点，在上，不断增大，在上，先是一个定值，然后增大，在上，是个定值，分析选项可得答案。【详解】由题图看出，时，排除B；在上，不断增大，在上，先是一个定值，然后增大，在上，不断增大，在上，是个定值，在上，不断增大，故选D.【点睛】本题考查函数图像与图像的变化，属于基础题。12.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的
8、函数称为圆的一个“太极函数”.下列有关说法中正确的个数是（ ）个对圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；函数是圆的一个太极函数；存在圆，使得是圆的太极函数；直线所对应的函数一定是圆的太极函数.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.【详解】对于，如下图所示，若太极函数为偶函数，该函数平分圆的周长和面积，错误；对于，函数的图象是过圆圆心的一条直线，平分圆的周长和面积，正确；对于，定义域为，关于原点对称.，该函数为奇函数.当时，当时，此时函数单调递减.当时，当时，此时函数单调递减.函数的图象关于原点对称，有三条渐近线，.可
9、知函数对称中心为间断点，故不存在圆使得函数满足题干条件，错误；对于，对于直线的方程，变形为，令，得，直线经过圆的圆心，可以平分圆周长和面积，正确.因此，真命题的序号为.故选：B.【点睛】本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共30分）13.分解因式：_.【答案】【解析】【分析】对代数式提公因式，然后利用十字分解法可将代数式进行分解.【详解】由题意可得.故答案为：.【点睛】本题考查代数式的因式分解，考查计算能力，属于基础题.14.已知，当时，其值域是_【答案】【解析】【分析】令，因为，所以，得到函数，利用二次函数
10、的性质，即可求解，得到答案【详解】由题意，令，因为，所以，则函数，所以当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，所以函数的值域为，故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查了换元思想，以及推理与运算能力，属于基础题15.已知，试用表示_.【答案】【解析】【分析】利用换底公式，可得，两式相乘可得，将所求换底为2计算即可.【详解】因为，所以，两式相乘可得，.【点睛】本题主要考查了对数的换底公式，对数的运算性质，属于中档题.16.设，则_.【答案】【解析】分析】根据函数的解析式逐步计算出的值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查
11、分段函数的函数值计算，解题时要结合自变量所满足的定义域选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在平面直角坐标系中，已知曲线、依次为，的图像，其中为常数，点是曲线上位于第一象限的点，过分别作轴、轴的平行线交曲线分别于点、，过点作轴的平行线交曲线于点，若四边形为矩形，则的值是_.【答案】【解析】【分析】设点，其中，可求出点、的坐标，进一步求出点的坐标，再将点的坐标代入函数的解析式可求出实数的值.【详解】设点，其中，设点、，则，解得，所以，点、，则点的坐标为，将点的坐标代入函数的解析式，得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点的坐标计算出点的坐标，
12、考查计算能力，属于中等题.18.若表示、两数中的最大值，若关于对称，则_【答案】【解析】【分析】由于函数的图象关于轴对称，函数的图象关于直线对称，可得知函数的图象关于直线对称，由此可求出的值.【详解】由于函数的图象关于轴对称，函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的基本性质，考查函数对称性的应用，解题的关键就是确定所求函数的对称轴方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题（要求写出过程，共60分）19.按要求完成下列各题（1）求值 （2）已知，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用对数运算律、指数的运算律、对
13、数的恒等式以及根式的运算性质可得出结果；（2）在等式两边平方，可求出的值，由此可计算出，从而得出的值.【详解】（1）原式；（2），则.，因此，.【点睛】本题考查指数幂的化简与计算、对数的运算性质，熟悉指数与对数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.20.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题得解不等式即得解；（2）对集合A分两种情况讨论即得实数的取值范围.【详解】（1）若，则解得.故实数的取值范围是.（2）当时，有，解得，满足.当时，有，解得又，则有或，解得或，或.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题
14、主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.函数是定义在上的偶函数，当时，（1）求的函数解析式；（2）作出的草图，并求出当函数有个不同零点时，的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，计算出的表达式，再由偶函数的定义得出函数在时的解析式，从而可得出函数在上的解析式；（2）由，得出，将问题转化为当直线与函数的图象有个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数的图象，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，则，函数是定义在上的偶函数，当时，.因此，；（2）由，得出，则问题等价于当直线与函数的图象有个交点时，求实
15、数的取值范围.作出函数与函数的图象如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有个交点，此时，函数有个零点.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查偶函数解析式的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.22.已知函数（且）（1）函数是否过定点？若是求出该定点，若不是，说明理由（2）将函数图象向下平移个单位，再向左平移个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式；（3）在（2）的基础上，若函数过点，且设函数的定义域为，若在其定义域内，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）过定
16、点；（2）（且）；（3）.【解析】【分析】（1）在函数的解析式中，令指数为零，可求出该函数所过定点的坐标；（2）根据平移原则求出函数的解析式，然后再根据同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质可得出函数的解析式；（3）将点代入函数的解析式得出，令，由，得出，利用函数单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）（且），令，得，.因此，函数的图象恒过定点；（2）将函数的图象向下平移个单位，得到函数（且）的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位，可得到函数（且）的图象.因此，（且）；（3）由题意得，得，且，则，当时，.由，得，即，令，则不等式对任意的恒成立，对任意的恒成立，
17、构造函数，其中.则函数在区间上单调递增，则该函数的最大值为，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了指数图象恒过定点问题、反函数解析式的求解以及对数型函数不等式在某区间上恒成立问题的求解，利用换元思想转化为二次不等式在区间上恒成立，并结合参变量分离法求解是解题关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.23.已知是定义在上的奇函数.（1）当时， ，若当时， 恒成立，求的最小值；（2）若的图像关于对称，且时， ，求当时， 的解析式；（3）当时， .若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 的最小值为；(2) ；(3) .【解析】试题分析：（1）取最小值时，m,n为函数在上最大值与最小值，先求函数在上最值，再根据奇函数性质得在上最大值与最小值，（2）先根据函数两个对称性（一个关于原点对称，一个关于对称）推导出函数周期，根据周期性只需求出解析式，根据关于对称，只需求出上解析式，根据奇函数性质根据解析式可得上解析式，（3）先根据函数解析式得到，转化不等式为，再根据函数单调性得，最后根据不等式恒成立，利用变量分离法求实数的取值范围.试题解析：（1），当时， .，因为函数是奇函数，所以当时， .所以， ， 的最小值为.（2）由为奇函数，得；又的图像关于对称，得；即当， ；当， ；又，当时， （3）易知， ；， ；综上，对任， 对任意的恒成立，又在上递增，即对任意的恒成立.