1、A级基础巩固1.在空间直角坐标系中,若点A的坐标是(1,-2,11),点B的坐标是(4,2,3),点C的坐标是(6,-1,4),则ABC一定是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析: 因为AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),所以|AB|2=32+42+(-8)2=89,|AC|2=52+1+(-7)2=75,|BC|2=22+(-3)2+1=14,所以|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以ABC一定是直角三角形.答案:C2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点,则
2、异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为()A.105 B.257 C.1515 D.1015解析:如图,建立空间直角坐标系.则点C1的坐标是(0,1,2),点D的坐标是(1,0,1),点A1的坐标是(0,0,2),点C的坐标是(0,1,0).所以C1D=(1,-1,-1),A1C=(0,1,-2),所以cos=C1DA1C|C1D|A1C|=-1+235=1515.故选C.答案:C3.在空间直角坐标系中,已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角等于60.解析:由题意,得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),所以cos=ABAC|AB|AC|
3、=3322=12,故AB与AC的夹角为60.4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求ABC的面积;(2)求ABC中AB边上的高.解:(1)由已知,得AB=(1,-3,2),AC=(2,0,-8),所以|AB|=1+9+4=14,|AC|=4+0+64=217,ABAC=12+(-3)0+2(-8)=-14,所以cos=ABAC|AB|AC|=-14217,所以sin=1-734=2734.所以SABC=12|AB|AC|sin=12142172734=321.(2)设AB边上的高为CD,则CD=2SABC|AB|=36,即ABC中AB边上的
4、高为36.B级拓展提高5.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),若OA+OB与OB的夹角为120,则的值为()A.66 B.66 C.-66 D.6解析:因为OA=(1,0,0),OB=(0,-1,1),所以OA+OB=(1,-,),所以(OA+OB)OB=+=2,|OA+OB|=1+(-)2+2=1+22,|OB|=2,所以cos 120=221+22=-12,所以2=16.又因为221+220,所以=-66.答案:C6.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.2a B.2
5、2a C.a D.12a解析:由题意,得Fa,a2,0,A1(a,0,a),C(0,a,0),所以Ea2,a2,a2,则|EF|=a-a22+a2-a22+0-a22=22a.答案:B7.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是(-,-2).解析:由题意,得a,b的夹角不可能为180,ab=2x-23+25=2x+4.设a,b的夹角为,因为为钝角,所以cos =ab|a|b|0,|b|0,所以ab0,即2x+40,所以x-2,即实数x的取值范围是(-,-2).8.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,已知M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),若在线段M1
6、M2上存在一点M满足M1M2=4MM2,则向量OM的坐标为114,-14,-92.解析:设点M的坐标为(x,y,z),则M1M2=(1,-7,-2),MM2=(3-x,-2-y,-5-z).因为M1M2=4MM2,所以1=4(3-x),-7=4(-2-y),-2=4(-5-z),解得x=114,y=-14,z=-92,所以点M的坐标为114,-14,-92,所以OM=114,-14,-92. 9.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45? 并说明理由.解:不存在.理由如下:以A为原点,建立如图所示的
7、空间直角坐标系.由题意,知A(0,0,0),C(0,2,0),B(3,1,0),B1(3,1,2),M32,32,0.因为点N在CC1上,所以设点N(0,2,m)(0m2),则AB1=(3,1,2),MN=-32,12,m,所以|AB1|=22,|MN|=m2+1,AB1MN=2m-1.如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45,那么向量AB1和MN的夹角等于45或135.因为cos=AB1MN|AB1|MN|=2m-122m2+1,所以2m-122m2+1=22,解得m=-34,这与0m2矛盾.所以在CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45. C级挑战创新10.多选题若向量
8、a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则()A.cos=-25 B.abC.ab D.|a|=|b|解析:因为向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),所以|a|=5,|b|=5,ab=1(-2)+20+01=-2,cos=ab|a|b|=-25=-25.可得A,D两项正确,B,C两项显然不正确.答案:AD11.多空题已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),则|2a+b|=52;若在直线AB上存在一点E,使得OEb (O为原点),则点E的坐标为-65,-145,25.解析:由题意,得2a+b=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-5)2+52=52.由题意,设OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).因为OEb,所以OEb=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95,所以OE=-65,-145,25.所以点E的坐标为-65,-145,25.