1、5.3 三角恒等变换课标要求考情分析核心素养1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).新高考3年考题题 号考 点数学抽象数学运算直观想象2022()卷6三角恒等变换的综合应用2021()卷6、10二倍角公式，向量数量积的坐标运算，和差角公式，同角三角函数的基本关系1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C:cos=coscos
2、sinsin(同名相乘，加减相反)S:sin=sincoscossin(异名相乘，加减一致)T:tan=tantan1tantan(两式相除，上同下异) ,2+k,kZ(2)公式的逆用及变形tantan=tan1tantan；在ABC中,(角A,B,C均不为直角)，tanA+B=tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.2.二倍角公式C二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2:sin2=2sincos; C2:cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2; T2:tan2=2tan1-tan3.辅助角公式函数fx=a
3、sinx+bcosx(a,b为常数)，可以转化为fx=a2+b2sinxaa2+b2+cosxba2+b2=a2+b2sinx+其中sin=ba2+b2,cos=aa2+b2,tan=ba，可由a,b的值唯一确定如： sincos=2sin41.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin.(2)cos.(3)tan.2.升幂公式：1-cos2=2sin2; 1+cos2=2cos2; 1sin2=sincos2;3.降幂公式：sincos=12 sin2; sin2=1-cos22; cos2=1+cos22; tan2=1-cos21+cos24.万能置换公式：sin2=2sincossin2+
4、cos2=2tantan2+1; cos2=cos2-sin2sin2+cos2=1- tan21+ tan21.【P223 T5.多选】下列四个等式其中正确的是()A. tan25+tan35+3tan25tan35=3 B. tan22.51-tan222.5=1C. cos28-sin28=12 D. 1sin10-3cos10=42.【P227 T10】已知OPQ是半径为1，圆心角为6的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的接矩形，则AB+2AD的最大值为考点一和差角公式的应用【方法储备】1.公式的正用、逆用及变形用：（1）正用：记住公式的结构特征和符号变化规律，正确使用公式；（2
5、）逆用及变形用：公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；（3）注意特殊角的应用，当式子中出现12,32,33,3等这些数值时，考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式；（4）三角恒等变换常与同角三角函数的基本关系，诱导公式等综合应用.2.角（函数名的）的变换：（1）变角技巧（2）常见的配角技巧 2=+- =-+=+-=+-2 -=-+- 4+=2-4- 712=4+3; 512=4+6;12=3-4=4-6角度1公式的直接应用【典例精讲】例1.(2022山东省期中)已知sin+cos=1，cos+sin=0，则sin(+)=【名师点睛】本题考查两角和与差的正弦函数公式的应用
6、，三角函数的求值，属于基本知识的考查【靶向训练】 练1-1(2022四川省成都市期中)求值：tan20+tan40+3tan20tan40=练1-2(2022天津市模拟)计算cos20cos80+sin160cos10=( )A. 12B. 32C. -12D. -32角度2 拆角、配角问题【典例精讲】例2.(2022浙江省模拟)若,(2,)，且sin=255，sin(-)=-1010，则sin=()A. 7210B. 22C. 12D. 110【名师点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属于中档题由同角三角函数的基本关系可得cos和cos(-)，由sin=sin
7、-(-)结合两角和的正弦公式即可求得【靶向训练】 练1-3(2022浙江省丽水市期末)已知sin-6=13，0,2，则cos的值为()A. 6+12B. 6-13C. 26+16D. 26-16练1-4(2022云南省期末)已知tan(-6)=12，tan(6-)=13，则tan(-)的值为考点二二倍角公式【方法储备】1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中=的特殊情况；2.二倍角是相对的, 2是4的2倍, 3是32的2倍,6是3的2倍.【典例精讲】例3.(2022安徽省强基)下列等式成立的是()A. cos215-sin215=32B. sin8cos8=24C. 12sin40+32c
8、os40=sin70D. tan15=2-3【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变形即化简的应用，属于基础题分别将所给命题按二倍角公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式逆用可判断出所给命题的真假【靶向训练】练2-1(2022湖南省长沙市期末)已知(2,)，sin=35，则tan2= 练2-2(2019全国理科卷新课标卷)已知(0,2)，2sin2=cos2+1，则sin=()A. 15B. 55C. 33D. 255考点三三角函数给值求值问题【方法储备】1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角(非特殊角
9、)求值的基本思路：3.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：角度1 给值求值【典例精讲】例4.(2022湖北省孝感市省期末)已知sin-cos=105，0，则sin(2-3)=()A. 43-310B. 3-4310C. -3+4310D. 3+4310【名师点睛】本题考查三角式的化简求值，注意角的范围，属于基础题【靶向训练】 练3-1(2021江苏省模拟)若cos(4-)=35，则sin2=()A. 725B. 15C. -15D. -725练3-2(2022山东省临沂市模拟)已知sincos=38，且(0,2)，则cos2sin
10、(-4)的值为_角度2 给角求值【典例精讲】例5.(2022江苏省期末)tan15=()A. -2-3 B. -2+3 C. 2-3 D. 2+3【名师点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属于基础题【靶向训练】 练3-3(2021山东省东营市期末)sin15+sin75=练3-4(2021江西省萍乡市期末)求值：sin50-sin10cos10-cos50=角度3 给值求角【典例精讲】例6.(2022江苏省期末)已知锐角，满足(tan-1)(tan-1)=2，则+的值为【名师点睛】本题考查两角和的正切公式，确定+的范围是解答本题的关键，属于基础题由已知化简可得tan+tan=tantan-1，
11、代入两角和的正切公式，可以求出+的正切值，根据、为锐角，易得+的值【靶向训练】 练3-5(2022湖北省武汉市模拟)已知sin=55，sin=1010，且，为锐角，则+=练3-6(2022江苏省无锡市模拟)已知cos=55，sin(-)=1010，且、(0,2).求：()cos(2-)的值；()的值考点四三角恒等变换的综合应用【方法储备】1.三角恒等变换主要有以下四变:2.三角函数式化简的方法（1）弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂（2）常值代换，三角公式的正用、逆用、变形用.（3）在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次（4）
12、三角函数式的化简过程中通常会用到辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sinx+.3.化简要求使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；式子中的分母尽量不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.角度1 辅助角公式的应用【典例精讲】例7.(2022山西省模拟)设a=12cos6-32sin6，b=tan22.51-tan222.5，c=1+cos502，则有()A. abc B. abc C. acb D. bc0 D. m+n+10角度2 三角函数式的化简【典例精讲】例8.(2022新高考卷)若sin(+)+cos(+)=22cos(+4)sin，则( )A.tan(+)
13、=-1 B.tan(+)=1 C.tan(-)=-1 D.tan(-)=1【名师点睛】本题考查三角恒等变换的应用.法一：利用特殊值法，排除错误选项即可；法二，利用三角恒等变换，求出正确选项.【靶向训练】练4-3(2022湖南省长沙市期末)化简：sin40(tan10-3)=练4-4(2021全国甲卷文科)若(0,2)，tan2=cos2-sin，则tan=( )A. 1515B. 55C. 53D. 153易错点1忽略隐含条件致错例9.(2022浙江省温州市模拟) 在ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则A的最大值是易错点2凑角、拆角选择错误致错例10.(2022湖南省长沙市模拟.多选
14、)下列选项化简值为1的有()A.14(3sin20-1cos20) B.2cos40-3sin20cos20C.cos20cos10sin20+3sin10tan70-2cos40 D.3-(1+3)tan15答案解析【教材改编】1.【解析】对A：tan60=tan(25+35)=tan25+tan351-tan25tan35=3，故tan25+tan35+3tan25tan35=3，故A正确；对B：tan22.51-tan222.5=12tan45=12，故B错误；对C：cos28-sin28=cos4=22，故C错误；对D：1sin10-3cos10=cos10-3sin10sin10co
15、s10=2cos(60+10)12sin20=2sin2012sin20=4，故D正确故选：AD2.【解析】在RtOBC中，设COP=，06，则OB=cos，BC=AD=sin，在RtOAD中，tan6=ADOA=33，OA=3sin，AB=OB-OA=cos-3sin，则AB+2AD=cos-3sin+2sin=(2-3)sin+cos=(6-2)(2-36-2sin+16-2cos)=(6-2)sin(+)，其中，cos=2-36-2，sin=16-2当且仅当sin(+)=1时，AB+2AD取得最大值6-2故答案为：6-2【考点探究】例1.【解析】sin+cos=1，两边平方可得：sin2
16、+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2(sincos+cossin)=1，即2+2sin(+)=1，2sin(+)=-1sin(+)=-12故答案为：-12 练1-1.【解析】tan60=tan(20+40)=tan20+tan401-tan20tan40=3，3-3tan20tan40=tan20+tan40，tan20+tan40+3tan20tan40=3故答案为：3练1-2.【解析】cos20cos80+sin160cos10=cos20cos80+sin20sin80=cos(80-20)=cos60=
17、12故选：A例2.【解析】sin=255，sin(-)=-1010，且,(2,)，2，2，-2，-2-0，2sin=cos又sin2+cos2=1，5sin2=1sin=55(负值舍去)解法二：2sin2=cos2+1，4sincos=2cos2. 又(0,2)，2sin=cos，tan=12如图，构造直角三角形，易知sin=15=55故选：B例4.【解析】由sin-cos=105，两边平方得：1-sin2=25，即sin2=35，又0，sin-cos=2sin(-4)0，且sin20，故42，即22，故cos2=-45，sin(2-3)=sin2cos3-cos2sin3=3512+4532
18、=3+4310. 故选：D.练3-1.【解析】法1：cos(4-)=35，sin2=cos(2-2)=cos2(4-)=2cos2(4-)-1=2 925-1=- 725，法2：cos(4-)= 22(sin+cos)=35， 12(1+sin2)= 925，sin2=2925-1=-725故选：D练3-2.【解析】由sincos=38，可得(sin+cos)2=74又(0,2)，因此有sin+cos=72，所以cos2sin(-4)=cos2-sin222(sin-cos)=-2(sin+cos)=-142故答案为：-142例5.【解析】tan15=tan(60-45)=tan60-tan4
19、51+tan60tan45=3-11+3=3-12=2-3故选C练3-3. 【解析】sin15+sin75=sin(45-30)+sin(45+30)=2232-2212+2232+2212=62练3-4.【解析】sin50-sin10cos10-cos50=sin60-10-sin10cos10-cos60-1032cos10-32sin1012cos10-32sin10=3例6.【解析】(tan-1)(tan-1)=2，可得：tan+tan=tantan-1，tan(+)=tan+tan1-tantan=-1，为锐角，可得：+(0,)，+=34故答案为34练3-5.【解析】sin=55，s
20、in=1010，且，均为锐角，cos=1-sin2=255，cos=1-sin2=31010，则cos(+)=coscos-sinsin=25531010-551010=22再根据+(0,)，求得+=4，故答案为4练3-6.【解析】 ()解：,(0,2)，-(-2,2)，cos=55，sin(-)=1010，sin=1-cos=255，cos(-)=1-sin(-)=31010，cos(2-)=cos(-)+=cos(-)cos-sin(-)sin=3101055-1010255=210()由()得，cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=5531010+2551010
21、=22，又(0,2)，=4例7.【解析】a=12cos6-32sin6=sin(30-6)=sin24，b=tan22.51-tan222.5=12tan(222.5)=12tan45=12=sin30，c=1+cos502=cos25=sin75，所以ab0，sincos=n0，所以mn0，D正确故选BD例8.【解析】解法一：设=0则sin+cos=0，取=34，排除B，D再取=0则sin+cos=2sin，取=4，排除A;选C解法二：由sin(+)+cos(+)=2sin(+4)=2sin(+4)+=2sin(+4)cos+2cos(+4)sin，故2sin(+4)cos=2cos(+4)
22、sin故sin(+4)cos-cos(+4)sin=0，即sin(+4-)=0，故sin(-+4)=22sin(-)+22cos(-)=0，故sin(-)=-cos(-)，故tan(-)=-1练4-3.【解析】sin40(tan10-3)=sin40(sin10cos10-3)=sin40sin10-3cos10cos10=2sin40(12sin10-32cos10)cos10=2sin40sin(10-60)cos10=-2sin40sin50cos10=-2sin40cos40cos10=-sin80cos10=-cos10cos10=-1故答案为-1练4-4.【解析】由tan2=cos
23、2-sin，得sin2cos2=cos2-sin，即2sincos1-2sin2=cos2-sin，(0,2)，cos0，则2sin(2-sin)=1-2sin2，解得sin=14，则cos=1-sin2=154，tan=sincos=14154=1515故选：A【易错点归纳】例9.【解析】sinA+2sinBcosC=0，sin(B+C)+2sinBcosC=0，3sinBcosC+cosBsinC=0，cosC0，cosB0，3tanB=-tanC，可得B为锐角，C为钝角tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC=-(tanB-3tanB)1+3tan2B=21
24、tanB+3tanB223=33，当且仅当tanB=33时取等号，(tanA)max=33,Amax=6故答案为6例10.【解析】对于A14(3sin20-1cos20)=32cos20-12sin202sin20cos20=sin60-20sin40=1；对于B2cos40-3sin20cos20=2cos60-20-3sin20cos20=cos20+3sin20-3sin20cos20=1；对于Ccos20cos10sin20+3sin10tan70-2cos40=cos20cos10sin20+3sin10sin70cos70-2cos40=cos20cos10sin20+3sin10cos20sin20-2cos40=2cos20sin30+10sin20-2cos40=2cos20sin40-2cos40sin20sin20=2sin40-20sin20=2；对于D3-(1+3)tan15=3-(1+3)tan60-tan451+tan60tan45=3-(1+3)3-11+3=1故选ABD