1、专题16导数的应用(酌情自选)提炼1导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递减(2)常数函数的判定方法如果在某个区间(a，b)内，恒有f(x)0，那么函数yf(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f(x)0(或f(x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)提炼2函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点
2、不一定是极值点，如函数f(x)x3，当x0时就不是极值点，但f(0)0.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件(3)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值提炼3函数最值的判别方法(1)求函数f(x)在闭区间a，b上最值的关键是求出f(x)0的根的函数值，再与f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数
3、法判断函数f(x)的单调性，即可得结论回访1导数与函数的单调性1(2016全国乙卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C. D.C取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.2(2015全国卷)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，x
4、f(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0时，f(x)0,0x1，当x0，g(x)0，x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.回访2函数的极值与最值3(2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，) B.(，2)C(1，) D.(，1)Bf(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示(1)不符合题意，排除A、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，
5、f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示(2)不符合题意，排除D.4(2016北京高考)设函数f(x)(1)若a0，则f(x)的最大值为_；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_2a1由当xa时，f(x)3x230，得x1.如图是函数yx33x与y2x在没有限制条件时的图象(1)若a0，则f(x)maxf(1)2.(2)当a1时，f(x)有最大值；当aa时无最大值，且2a(x33x)max，所以a0，函数g(x)单调递增；3分当a0，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，函数g(x)单调递减. 5分所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0
6、时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为. 6分(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意. 7分当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意. 9分当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意. 11分当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x).13分利用导数研究函数极值、最
7、值的方法1若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号2若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解3求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值变式训练2(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a. 2分若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时
8、，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1. 10分因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1). 12分热点题型3利用导数解决不等式问题题型分析：此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的(2016长沙十三校联考)设函数f(x)ax.(1)若函数f(x)在(1，)上为减函数，求实数a的最小值；(2)若存在x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数
9、a的取值范围解(1)由得x0且x1，则函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，因为f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)a0在(1，)上恒成立又f(x)a2a2a，故当，即xe2时，f(x)maxa.所以a0，于是a，故a的最小值为. 4分(2)命题“若存在x1，x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa”. 由(1)知，当xe，e2时，f(x)maxa，f(x)maxa. 5分问题等价于：“当xe，e2时，有f(x)min”当a时，由(1)知，f(x)在e，e2上为减函数，则f(x)minf(e2)ae2，故a. 6分当a，不合题
10、意. 8分()a0，即0a，由f(x)的单调性和值域知，存在唯一x0(e，e2)，使f(x)0，且满足：当x(e，x0)时，f(x)0，f(x)为增函数；10分所以，fmin(x)f(x0)ax0，x0(e，e2)，所以，a，与0ag(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)(4)放缩法：若所构
11、造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数变式训练3(2016太原一模)设函数f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，曲线yf(x)过点(e，e2e1)，且在点(1,0)处的切线方程为y0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x1时，f(x)(x1)2；(3)若当x1时，f(x)m(x1)2恒成立，求实数m的取值范围解(1)函数f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，可得f(x)2aln xaxb，因为f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，所以a1，b1. 2分(2)证明：f(x)x2ln xx1，设g(x)x2ln xxx2(x1)，g(x)2x
12、ln xx1，(g(x)2ln x10，所以g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以g(x)在0，)上单调递增，所以g(x)g(1)0，所以f(x)(x1)2. 6分(3)设h(x)x2ln xxm(x1)21，h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)中知x2ln x(x1)2x1x(x1)，所以xln xx1，所以h(x)3(x1)2m(x1)，当32m0即m时，h(x)0，所以h(x)在1，)单调递增，所以h(x)h(1)0，成立当3m0即m时，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得x0e21，当x1，x0)时，h(x)h(1)0，所以h(x)在1，x0)上单调递减，所以h(x)h(1)0，不成立综上，m. 12分