1、第2课时等差数列前n项和的性质与应用课后篇巩固提升基础巩固1.在等差数列an中,Sn是其前n项和,a1=-11,S1010-S88=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-10解析an为等差数列,Snn为等差数列,首项S11=a1=-11,设Snn的公差为d,则S1010-S88=2d=2,d=1,S1111=-11+10d=-1,S11=-11.答案A2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为()A.34B.35C.36D.不能确定解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,S奇=S偶+
2、a7=35.答案B3.若Sn表示等差数列an的前n项和,S5S10=13,则S10S20=()A.19B.18C.310D.13解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列.S5S10=13,S10=3S5,S15=6S5,S20=10S5,S10S20=310.答案C4.已知数列an为等差数列,a2=0,a4=-2,则其前n项和Sn的最大值为()A.98B.94C.1D.0解析因为a2=0,a4=-2,所以公差d=-2-04-2=-1,所以a1=1.又a2=0,所以数列an的前n项和Sn的最大值为1.答案C5.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,若Sn
3、Tn+2=2n+73n+6,则a2+a11+a20b5+b19=()A.161150B.79C.4946D.76解析SnTn+2=2n+73n+6,则根据等差数列的性质可知a2+a11+a20b5+b19=3a112b12=32a114b12=3a1+a212212b1+b232232321=32212+7213+62321=76.答案D6.已知等差数列an,Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=.解析S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,S9-S6=5.答案57.已知等差数列an,|a5|=|a9|,公差d0,则使得其
4、前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.解析由|a5|=|a9|,且d0,得a50,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.答案6或78.设等差数列an的前n项和为Sn,a10,nN*,若S120,S130,nN*,S120,S130,13a70,a7-a70.而-a7-a8,则数列|an|的最小项是a7.答案a79.已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)求数列Snn的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d,由题意,得3a1+322d=6,8a1+872d=-4,即3a1+3d=6,8a1+
5、28d=-4,解得a1=3,d=-1.所以Sn=3n+n(n-1)2(-1)=-12n2+72n.(2)由(1),得Snn=-12n+72,所以Sn+1n+1-Snn=-12(n+1)+72-12n+72=-12,即数列Snn是首项为S11=3,公差为-12的等差数列,故Tn=3n+n(n-1)2-12=-14n2+134n.10.在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.解等差数列an的公差d=a17-a117-1=-12-(-60)16=3,故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630,即n21.故数列an的前20项
6、是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn分别表示数列an,|an|的前n项和,当n20时,Sn=-Sn=-60n+n(n-1)23=-32n2+1232n;当n21时,Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+n(n-1)23-2-6020+201923=32n2-1232n+1 260.故数列|an|的前n项和为Sn=-32n2+1232n,n20,32n2-1232n+1 260,n21.能力提升1.在数列an中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为()A.495B.765C.46D.76解析由已知可以判断数列an是以-60为首项,3
7、为公差的等差数列,因此an=3n-63.a10,a21=0,a220,数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30(-60)+302923-221(-60)+212023=765.答案B2.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12(a1+a2n-1)2n-12(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=7n+19n+1=7+12n+1.当n=1,2,3,5,11时,12n
8、+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,anbn为整数.答案D3.在等差数列an中,其前n项和为Sn,nSn+1(n+1)Sn(nN*),且a8a7(n+1)Sn,得Sn+1n+1Snn,即Sn+1n+1-Snn0.而Sn+1n+1-Snn=d2,所以d0.因为a8a7-1,所以a7+a8a70,即a7(a7+a8)0,因此数列an是递增数列,所以a70,所以a70,所以在Sn中最小值是S7.答案A4.设数列an为等差数列,其前n项和为Sn,已知a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,若对任意nN*都有SnSk成立,则k的值为.解析a4和a5是方程x2-20x+99=0的两个根,a
9、4+a5=20,a4a5=99.对任意nN*都有SnSk成立,即Sk是和的最大值,从而d0,当n9时,an0,若对任意nN*都有SnSk成立,则k=9.答案95.在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为.解析因为等差数列an的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数图象的对称性及S2 011=S2 014,Sk=S2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k2,解得k=2 016.答案2 0166.已知数列an是以3为公差的等差数列,Sn是其前n项和,若S10是数列Sn中的唯一最小项,则数列an的首项a1的取值范
10、围是.解析依题意,得a100,即a1+930,解得-30a10.当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.当n2时,2Sn-1=an-12+an-1.所以2Sn-2Sn-1=an2-an-12+an-an-1,即2an=an2-an-12+an-an-1,即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.因为an+an-10,所以an-an-1=1(n2).故数列an是首项为1,公差为1的等差数列,且an=n.(2)解由(1)可知an=n.设cn=anbn,则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-n-522+254.nN*,当n=2或n=3时,cn的最大项为6.故anbn的最大值为
11、6,此时n=2或n=3.8.在等差数列an中,a10=23,a25=-22.(1)数列an的前多少项和最大?(2)求数列|an|的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d,由a10=23,a25=-22,得a1+9d=23,a1+24d=-22,解得a1=50,d=-3,所以an=a1+(n-1)d=-3n+53.令an0,得n0;当n18,nN*时,an0,故数列an的前17项和最大.(2)当n17,nN*时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-32n2+1032n;当n18,nN*时,|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a17-a18-a19-an=2(a1+a2+a17)-(a1+a2+an)=32n2-1032n+884.故Sn=-32n2+1032n,n17,32n2-1032n+884,n18.