1、百盛高三冲刺班数学练习（55)学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D2在直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，若点为的中点，则直线与平面所成的角为（ ）ABCD3已知两平面的法向量分别为(0，1，0)，(0，1，1)，则两平面的夹角为（ ）A45 B135 C45或135 D904如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（）A B CD5如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面
2、ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（）A B C D二、填空题6正方体的棱长为，点和分别是和的中点，则异面直线和所成角的余弦值为_7正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为 _.8如图所示，在长方体中，点是棱的中点，则点到平面的距离为_三、解答题9如图，四棱锥中，底面是菱形，是棱上的点，是中点，且底面，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.参考答案1A【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设圆的半径为，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】，且，所以，连接，
3、则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.2A【分析】可以建立空间直角坐标系，用向量求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则,，,设平面的法向量为，由可取得一个法向量设直线与平面所成的角为则故直线与平面所成的角为故选: A.3A【分析】利用空间平面间的夹角求解即可【详解】cos,，即,135，两平面的夹角为18013545故选：A4A【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴
4、建立空间直角坐标系，则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,，,设(x，y，z)，,，则(x，y，z)(0,0,2)0，z0，(x，y，z)(1，2,2)，y-x，令x1，则y-，u(1,-,0)，异面直线D1E与CC1的距离为d，P在D1E上运动，P到直线CC1的距离的最小值为d.故选：A.5D【分析】设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.【详解】设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，且为平面BDF的一个
5、法向量.由，可得平面BCF的一个法向量为.故选：D6【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线和所成角为，则异面直线和所成角的余弦值为故答案为：7【分析】转化为求点B到平面AB1D1的距离后，建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的向量公式可求得结果.【详解】，平面BDC1，平面BDC1，所以平面BDC1，同理平面BDC1，又，所以平面AB1D1/平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z
6、轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，则，设平面AB1D1的一个法向量为，则，即，令，则，则，则点B到平面AB1D1的距离，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为.故答案为：8【分析】以为坐标原点，直线，分别为，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，得，点到面的距离：，故答案为:9（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)由底面是菱形，可得为等边三角形，再加上点是中点可证，进而可得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证； (2)由题意及(1)可以，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.【详解】证明：在菱形中，为等边三角形.又为的中点，./，.底面，平面，.，平面，平面.是棱上的点，平面.（2）解：底面，建立如图所示空间直角坐标系，设，则.，.由，得.设是平面的法向量，由，得令，则，则.又平面的法向量为，.由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.