1、2015-2016学年重庆八中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=（a1）+i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A2 B1 C0 D12已知条件p：x24；条件q：x2，p是q的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D即不充分又不必要条件3设f（x）=，则f（）是（）Af（x） Bf（x） C D4已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）Af（x）是偶函数 Bf（x）是增函数Cf（x）是周期函数 Df（x）的值域为1，+）5在极坐标系中，点（2，）到圆=2cos的圆
2、心的距离为（）A2 B C D6如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内处和判断框中的处应填的语句是（）An=n+2，i=15 Bn=n+2，i15 Cn=n+1，i=15 Dn=n+1，i157某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）A B C D8圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，若FB=2，EF=1，则CE=（）A3 B2 C4 D19函数在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A3，5B2，4C1，2D1，410设a，b，cR+，且a+b+c=1，若M=（）（）（），则必有（）A BM1 C1M8 DM811已知定义
3、在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f（x）x1，则不等式f（x）x2x+1的解集为（）Ax|2x2 Bx|x2 Cx|x2 Dx|x2或x212设函数f（x）=，则满足f（f（a）=2f（a）的a的取值范围是（）A，1B0，1C，+） D1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数f（x）=ln（xx2）的定义域为14若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦点，则p=15若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是16已知正数a，b，对任意ab且a，b（0，1）不等式ax2axa2bx2bxb2恒成
4、立，则实数x的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知集合A=x|x22x30，B=x|m2xm+2，mR（1）求ZRA；（2）若BA，求实数m的取值范围18某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲
5、、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，A1B1BC，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点（）求证：C1F平面EAB；（）求三棱锥ABCE的体积20如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心
6、率e的值21设函数f（x）=lnx+，mR（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（3）（理科）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知圆C的极坐
7、标方程为24（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若xR，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围2015-2016学年重庆八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=（a1）+i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A2 B1 C0 D1【考点】复数的基本概念【分析】利用纯虚数的定义即可得出【解
8、答】解：复数z=（a1）+i是纯虚数，a1=0，解得a=1故选：D2已知条件p：x24；条件q：x2，p是q的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D即不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】条件p：x24，解得x2，或x2，可得p：2x2，即可判断出结论【解答】解：条件p：x24，解得x2，或x2，p：2x2；条件q：x2，p是q的充分不必要条件故选：A3设f（x）=，则f（）是（）Af（x） Bf（x） C D【考点】函数的值【分析】利用函数的性质求解【解答】解：f（x）=，f（）=f（x）故选：A4已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）Af
9、（x）是偶函数 Bf（x）是增函数Cf（x）是周期函数 Df（x）的值域为1，+）【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由函数在y轴左侧是余弦函数，右侧是二次函数的部分可知函数不具有周期性和单调性，函数不是偶函数，然后求解其值域得答案【解答】解：由解析式可知，当x0时，f（x）=cosx，为周期函数，当x0时，f（x）=x2，是二次函数的一部分，函数不是偶函数，不具有周期性，不是单调函数，对于D，当x0时，值域为1，1，当x0时，值域为（1，+），函数的值域为1，+）故选：D5在极坐标系中，点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为（）A2 B C D【考点】圆的参数方程【分析】在直角坐标系中，求
10、出点 的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即 x2+y2=2x，即 （x1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为=，故选 D6如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内处和判断框中的处应填的语句是（）An=n+2，i=15 Bn=n+2，i15 Cn=n+1，i=15 Dn=n+1，i15【考点】程序框图【分析】首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算【解答】解：的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2n=n+2的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母
11、从1到29共15项i15故选B7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为12=，底面积为，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为22=，则该几何体的表面积为+故选：A8圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，若FB=2，EF=1，则CE=（）A3 B2 C4 D1【考
12、点】与圆有关的比例线段【分析】由已知中圆内接三角形ABC角平分线CE延长后交外接圆于F，则A、F、B、C四点共圆，由圆周角定理结合已知条件，易得FCBFBE，进而根据三角形相似的性质得到FE：FB=FB：FC，最后由FB=2，EF=1，求出FC的值，进而得到CE的长【解答】解：由题意得：A、F、B、C四点共园，根据圆周定理可得ABF=ACF又CE是角平分线，所以ACF=BCFFCBFBE，FE：FB=FB：FC，FB=2，EF=1，FC=4，CE=CFFE=3故选A9函数在区间（m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A3，5B2，4C1，2D1，4【考点】复合函数的单调性【分析】令t
13、=x2+6x50，求得函数的定义域为（1，5），且y=log0.5t利用二次函数的性质求得函数t=（x3）2+4 在定义域上的增区间为（1，3），可得函数y的减区间为（1，3）根据函数y在区间（m，m+1）上单调递减，故有，由此解得m的范围【解答】解：令t=x2+6x50，求得1x5，故函数的定义域为（1，5），且y=log0.5t利用二次函数的性质求得函数t=x2+6x5=（x3）2+4 在定义域（1，5）上的增区间为（1，3），故函数在区间（1，3）上单调递减根据函数在区间（m，m+1）上单调递减，故有，解得 1m2，故选：C10设a，b，cR+，且a+b+c=1，若M=（）（）（），则必
14、有（）A BM1 C1M8 DM8【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将M中的分子用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范围【解答】解：M=（）（）（）=故选D11已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f（x）x1，则不等式f（x）x2x+1的解集为（）Ax|2x2 Bx|x2 Cx|x2 Dx|x2或x2【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】通过对题目的分析，可构造函数g（x）=f（x），利用函数g（x）的单调性即可解出【解答】解：令g（x）=f（x），对g（x）求导，得g（x）=f（x）x+1，f（x）x1，g（x）0，即g（x）在R上为增函数不
15、等式可化为f（x）1，即g（x）g（2），由g（x）单调递增得x2，所以不等式的解集为x|x2故选C12设函数f（x）=，则满足f（f（a）=2f（a）的a的取值范围是（）A，1B0，1C，+） D1，+）【考点】分段函数的应用【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t1时，以及a1，a1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t1时，3t1=2t，由g（t）=3t12t的导数为g（t）=32tln2，在t1时，g（t）0，g（t）在（，1）递增，即有g（t）g（1）=0，则方程3t1=
16、2t无解；当t1时，2t=2t成立，由f（a）1，即3a11，解得a，且a1；或a1，2a1解得a0，即为a1综上可得a的范围是a故选C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数f（x）=ln（xx2）的定义域为（0，1）【考点】对数函数的定义域【分析】直接由对数式的真数大于0求解一元二次不等式即可得到答案【解答】解：由xx20，得x（x1）0，即0x1函数f（x）=ln（xx2）的定义域为（0，1）故答案为（0，1）14若抛物线y2=2px（p0）的准线经过双曲线x2y2=1的一个焦点，则p=2【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出x2y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2
17、px的准线，依据p的意义求出它的值【解答】解：双曲线x2y2=1的左焦点为（，0），故抛物线y2=2px的准线为x=，=，p=2，故答案为：215若函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），则实数a的取值范围是（1，2【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】当x2时，满足f（x）4当x2时，由f（x）=3+logax4，即logax1，故有loga21，由此求得a的范围，综合可得结论【解答】解：由于函数f（x）=（a0且a1）的值域是4，+），故当x2时，满足f（x）=6x4当x2时，由f（x）=3+logax4，logax1，loga21，1a2综上可得，1a2，故答案为：（1，216已
18、知正数a，b，对任意ab且a，b（0，1）不等式ax2axa2bx2bxb2恒成立，则实数x的取值范围是x1或x2【考点】函数恒成立问题【分析】法一：通过因式分解，原不等式可化简为x2x（a+b）0，问题可化为x2x（a+b）max；法二：构造函数h（t）=t2+（x2x）t，由题意可知h（t）=t2+（x2x）t在（0，1）单调递增，借助二次函数的性质可得关于x的不等式【解答】解法一：化简ax2axa2bx2bxb2，得（ab）x2（ab）x（a2b2）0，ab，x2x（a+b）0，又a，b（0，1），x2x2，解得x1或x2故答案为：x1或x2法二：ax2axa2bx2bxb2可化为a（x
19、2x）a2b（x2x）b2，令h（t）=t2+（x2x）t，对任意ab且a，b（0，1）不等式ax2axa2bx2bxb2恒成立，h（t）=t2+（x2x）t在（0，1）单调递增，对称轴t=，解得x1或x2，故答案为：x1或x2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知集合A=x|x22x30，B=x|m2xm+2，mR（1）求ZRA；（2）若BA，求实数m的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】（1）利用一元二次不等式的解法、集合的运算性质即可得出（2）根据集合之间的关系即可得出【解答】解：（1）由x22x30，解得x3或x1RA=（1
20、，3），ZRA=0，1，2（2）BA，m+21或3m2，解得m3或m5实数m的取值范围是（，35，+）18某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败（）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产
21、品，试估计恰有一组研发成功的概率【考点】模拟方法估计概率；极差、方差与标准差【分析】（）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可（）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决【解答】解：（）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，=乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，=因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平（）记E=恰有一组研发成功，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b）
22、，（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，A1B1BC，BC=1，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点（）求证：C1F平面EAB；（）求三棱锥ABCE的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）法一：取AB的中点G，连接EG，证明C1F平行于平面ABE内的直线EG即可；法二：取AC中点H，证明平面C1HF平面ABE，即可证明C1F平面ABE；（）利用等积法，三棱锥ABCE的体积VABCE=VEABC，求出即可【解答】解：（）法一
23、：取AB中点G，连结EG，FG，E，F分别是A1C1，BC的中点，FGAC，且FG=AC；又ACA1C1，且AC=A1C1，FGEC1，且FG=EC1，四边形FGEC1为平行四边形，C1FEG；又EG平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE；法二：取AC中点H，连结C1H，FH，则C1EAH，且C1E=AH，四边形C1EAH为平行四边形，C1HEA；又EA平面ABE，C1H平面ABE，C1H平面ABE，H、F分别为AC、BC的中点，HFAB；又AB平面ABE，FH平面ABE，FH平面ABE；又C1HFH=H，C1H平面C1HF，FH平面C1HF，平面C1HF平面ABE；又C1F平面C1H
24、F，C1F平面ABE；（）AA1=AC=2，BC=1，ABBC，AB=；三棱锥ABCE的体积为VABCE=VEABC=SABCAA1=12=20如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值（2）求出C的坐标，利用F1CAB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值【解答】
25、解：（1）C的坐标为（，），即，a2=（）2=2，即b2=1，则椭圆的方程为+y2=1（2）设F1（c，0），F2（c，0），B（0，b），直线BF2：y=x+b，代入椭圆方程+=1（ab0）得（）x2=0，解得x=0，或x=，A（，），且A，C关于x轴对称，C（，），则=，F1CAB，（）=1，由b2=a2c2得，即e=21设函数f（x）=lnx+，mR（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f（x）零点的个数；（3）（理科）若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数
26、的极值【分析】（1）当m=e时，x0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值（2）由g（x）=0，得m=，令h（x）=x，x0，mR，则h（1）=，h（x）=1x2=（1+x）（1x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f（x）零点的个数（3）（理）当ba0时，f（x）1在（0，+）上恒成立，由此能求出m的取值范围【解答】解：（1）当m=e时，x0，解f（x）0，得xe，f（x）单调递增；同理，当0xe时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，f（x）的极小值为2（2）g（x）=0，m=，令h（x）=x，x0，mR，则h（1）=，h（x）=1x2
27、=（1+x）（1x），令h（x）0，解得0x1，h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h（x）0，解得x1，g（x）要区是（1，+）上单调递减，值域为（，）当m0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0m时，g（x）有2个零点；当m时，g（x）没有零点（3）（理）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答
28、，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DMAC+DMAB【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BEEC，从而得出DE=BD=，由此证出ODEODB，得OED=OBD=90，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DMDH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和
29、DO=，化简即可得到等式2DE2=DMAC+DMAB成立【解答】解：（1）连接BE、OE，则AB为圆0的直径，AEB=90，得BEEC，又D是BC的中点，ED是RtBEC的中线，可得DE=BD又OE=OB，OD=OD，ODEODB可得OED=OBD=90，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，DEOE，OE是半径，DE为圆O的切线可得DE2=DMDH=DM（DO+OH）=DMDO+DMOHOH=，OD为ABC的中位线，得DO=，化简得2DE2=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知圆C的极坐标方程
30、为24（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的最大值和最小值【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】（1）展开两角差的余弦，整理后代入cos=x，sin=y得圆的普通方程，化为标准方程后由三角函数的平方关系化参数方程；（2）把x，y分别代入参数式，利用三角函数化积后借助于三角函数的有界性求最值【解答】解：（1）由，得，即，24cos4sin+6=0，即x2+y24x4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x2）2+（y2）2=2，令x2=，y2=得圆的参数方程为（为参数）；（2）由（1）得：
31、x+y=4+=4+2sin（），当sin（）=1时，x+y的最大值为6，当sin（）=1时，x+y的最小值为2故x+y的最大值和最小值分别是6和2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|x|2（1）解不等式f（x）0；（2）若xR，使得f（x）|x|+a，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）由题意可得|2x+1|2|x|a+2有解，再利用绝对值三角不等式求得|2x+1|2|x|的最小值，可得m的范围【解答】解：（1）不等式f（x）0，即|2x+1|x|2，故有，或，或解求得x3，解求得x，解求得x1，综上可得，不等式的解集为x|x3或 x1 （2）若xR，使得f（x）|x|+a，即|2x+1|2|x|a+2有解再根据|2x+1|2|x|（|2x+1（2x）|=1，a+21，a32016年7月4日